Enunciado

Determine os comutadores dos operadores de a e a + , onde a = ( x ^ + i p ^ ) / 2 1 2 e a + = ( x ^ + i p ^ ) / 2 1 2

Passo 1

Opaaaaa, gente!!! Mais uma vez nós aqui na quântica que quero mostrar pra vocês que vocês são tão capazes quanto qualquer outra pessoa de conseguir resolver esses problemas! Então, vem comigo!

A qualidade Ω ^ 1 Ω ^ 2 - Ω ^ 2 Ω ^ 1 é referida como os comutadores dos operadores Ω ^ 1 e Ω ^ 2 . Para obter os comutadores é necessário perceber que os operadores operam em funções, podemos então escrever algo como sendo:

Ω ^ 1 Ω ^ 2 f x - Ω ^ 2 Ω ^ 1 f ( x )

p x = ℏ i d d x

Passo 2

Também devemos lembrar que a = x ^ + ℏ d d x e a + = x ^ - ℏ d d x

Logo, temos que a a + f x = 1 2 x ^ + ℏ d d x × x ^ - ℏ d d x f ( x ) e que

a + a f x = 1 2 x ^ - ℏ d d x × x ^ + ℏ d d x f x

Passo 3

Os termos em x ^ 2 e d d x 2 obviamente irão ser anulados quando fizermos a distributiva e vamos então ignorar já de cara esses termos. Ao final temos que:

a a + f x = 1 2 - x ^ ℏ d d x + ℏ d d x x f x

a + a f x = 1 2 x ℏ d d x - ℏ d d x x f x

Essas expressões tem apenas sinais opostos se você perceber, logo:

a a + - a + a f x = ℏ d d x x ^ f x - ℏ x ^ d d x f x

= ℏ d d x x ^ - x ^ d d x f x = ℏ f x

a a + - a + a = h

Resposta

a a + - a + a = h

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