Enunciado

Um elétron confinado em uma nanopartícula pode ser imaginado como uma partícula de massa, m c , confinada em uma caixa cúbica do lado L. Os níveis de energia do elétron são:

E = h 2 8 m c L 2 ( n x 2 + n y 2 + n z 2 )

  1. Escreva expressões para os três níveis de energia mais baixos. Quais desses níveis são degenerados?
  2. Dê, para os níveis degenerados, os números quânticos correspondentes a cada nível.

Passo 1

Legal galera, nós já sabemos como se calcula a energia, certo?

E = h 2 8 m c L 2 ( n x 2 + n y 2 + n z 2 )

Para o nível mais baixo:

n x = 1

n y = 1

n z = 1

Substituindo nós termos:

E 111 = 3 h 2 8 m c L 2

Para o próximo nível nós teremos:

n x = 2

n y = 1

n z = 1

E assim:

E 2 11 = 6 h 2 8 m c L 2 = 3 h 2 4 m c L 2

Para o terceiro nível mais baixo nós temos:

n x = 2

n y = 2

n z = 1

E assim:

E 2 2 1 = 9 h 2 8 m c L 2

Passo 2

Muito bem galera, agora precisamos achar quais os níveis degenerados, ou seja, que possuem a mesma energia.

Não há como ter energia igual a E 11 1 , então só nos sobra E 2 1 1 e E 221 .

Para que a energia seja igual, basta trocarmos os números quânticos entre si.

Sendo assim:

E 211 = E 1 2 1 = E 11 2 = 3 h 2 4 m c L 2

Se não acreditam em mim podem fazer para cada um separadamente e confirmar nossos resultados, tudo bem?

Mas não observamos isso só aqui, não é? Também teremos:

E 2 2 1 = E 12 2 = E 2 12 = 9 h 2 8 m c L 2

Tranquilinha, não foi ?!

Resposta

  1. E 111 = 3 h 2 8 m c L 2 | E 211 = 3 h 2 4 m c L 2 | E 221 = 9 h 2 8 m c L 2 ;
  2. E 211 = E 121 = E 112   |   E 221 = E 122 = E 212 .
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