Enunciado

Um isótopo radioativo X, com meia vida de 27,4   d , decai a outro isótopo radioativo, Y, com meia vida de 18,7   d . Este último decai a um isótopo estável, Z. Estabeleça e resolva as leis de velocidade das quantidades dos dois nuclídeos em função do tempo e lance seus resultados como um gráfico.

Passo 1

Huuunm...

Esta não é tão molezinha assim !

Vamos com calma! Primeiro vamos ver o que acontece:

A taxa de reação quando X decai em Y é dada por:

- d X d t = k 1 . X

Vamos reorganizar:

- d X X = k 1 . d t

Se integrarmos:

- ln ⁡ X = k 1 t + C

Onde C é a constante, e para acha-la basta lembrarmos que, quando t = 0 o X = X 0 :

- ln ⁡ X 0 = C

Substituindo:

- ln ⁡ X = k 1 t - ln ⁡ X 0

ln ⁡ X 0 - ln ⁡ X = k 1 t

ln ⁡ X 0 X = k 1 t

ln ⁡ X X 0 = - k 1 t

Aplicando o exponencial:

X X 0 = e - k 1 t

Isolando X:

X = X 0 e - k 1 t

Então, a quantidade de X é representada pela equação acima, quando o isótopo X decai em Y.

Tranquilo até aqui?

Passo 2

Para o Y nós teremos:

d Y d t = k 1 X - k 2 Y

Reorganizando:

d Y d t + k 2 Y = k 1 X

E substituindo o X do passo 1:

d Y d t + k 2 Y = k 1 X 0 e - k 1 t

Fazendo o mesmo procedimento do passo 1 e lembrando que Y 0 = 0 :

Y = k 1 k 2 - k 1 ( e - k 1 t - e - k 2 t ) X 0

Então já achamos a equação para a concentração de Y

Passo 3

Agora só precisamos da concentração de Z.

Para isso precisamos lembrar que, no tempo t = 0 :

X + Y + Z = X 0

Z = X 0 - X - Y

Substituindo os valores do passo 1 e 2:

Z = X 0 - X 0 e - k 1 t - k 1 k 2 - k 1 ( e - k 1 t - e - k 2 t ) X 0

Reorganizando:

Z = X 0 - X 0 e - k 1 t + k 1 k 2 - k 1 e - k 1 t - e - k 2 t

Z = X 0 - X 0 e - k 1 t k 2 - k 1 +   k 1 e - k 1 t - e - k 2 t k 2 - k 1

Z = X 0 - X 0 e - k 1 t k 2 - e - k 1 t k 1 +   e - k 1 t k 1 - e - k 2 t k 1 k 2 - k 1

Z = X 0 - X 0 e - k 1 t k 2 - e - k 2 t k 1 k 2 - k 1

Então:

Z = X 0 1 + e - k 2 t k 1 - e - k 1 t k 2 k 2 - k 1

Acharam que acabou? Ainda não !

Passo 4

Vamos achar as constantes de decaimento:

t 1 2 = ln ⁡ 2 k 1 → k 1 = ln ⁡ 2 t 1 2

Como a meia vida para o X é 27,4   d :

k 1 = ln ⁡ 2 27,4   d = 0,0253   d - 1

E para o Y é 18,7   d :

k 2 = ln ⁡ 2 18,7   d = 0,0371   d - 1

E assumindo que:

X 0 = 2 g

Então as concentrações serão:

X = 2 e - 0,0253   d - 1 . t

Y = 4,3 ( e - 0,0253   d - 1 t - e - 0,0371   d - 1 t )

Z = 2 1 + ( 0,0253 ) e - 0,0371   d - 1 . t - ( 0,0371 ) e - 0,0253 t 0,0118

Usando estas equações e variando o tempo poderemos montar os gráficos:

Um pouco cabulosa, não é?! Mas finalizamos mais uma !

Resposta

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