Enunciado

A meia-vida de uma substância que participa de uma reação de terceira ordem A → P r o d u t o s é inversamente proporcional ao quadrado da concentração inicial de A. Como essa meia-vida pode ser usada para prever o tempo necessário para que a concentração caia até:

  1. um meio;
  2. um quarto;
  3. 1/16 do seu valor inicial?

Passo 1

Boora começar mais umaaa !

Então galera, antes de qualquer coisa precisamos relacionar as concentrações com o tempo meia-vida.

Como a reação é de terceira ordem, teremos:

3 A → P r o d u t o s

Então, a taxa de decaimento de A pode ser escrito como:

T a x a = k A 3  

Sabendo que a taxa é a variação da concentração pelo tempo:

- d [ A ] d t = k A 3

Separamos os termos:

- d A A 3 = k . d t

Integrando:

- A - 2 - 2 = k t + C

1 2 A 2 = k t + C

Para achar a constante basta assumirmos que, para t = 0 : A = A 0 .

1 2 . A 0 2 = C

Então nossa equação fica assim:

1 2 1 A t 2 - 1 A 0 2 = k t

Se já sabemos isso podemos começar!!

Passo 2

Para a letra a:

A 1 2 = A 0 2

Substituindo:

1 2 4 A 2 0 - 1 A 2 0 = k t 1 2

t 1 2 = 3 2 k × 1 A 0 2

Como 3 2 k é uma constante, o tempo total será:

t T o t a l = t 1 2 = c o n s t a n t e A 0 2

Para a letra b, temos o tempo de 1/4. Aqui a concentração inicial será igual à concentração final obtida no tempo anterior.

Ou seja:

t 1 4 = c o n s t a n t e A 1 2 2

Substituindo:

t 1 4 = c o n s t a n t e 1 2 A 0 2 = 4 . c o n s t a n t e A 0 2 = 4 . t 1 2

Neste caso, o tempo total será:

t T o t a l = t 1 2 + 4 . t 1 2 = 5 . t 1 2

Passo 3

Vamos finalizar com a letra c.

Mas antes precisamos achar a concentração de 1/8.

Como t 1 4 dividiu a concentração inicial por quatro:

A 1 4 = A 0 4

Substituindo para este caso:

t 1 8 = c o n s t a n t e 1 4 A 0 2 = 16 . c o n s t a n t e A 0 2 = 16 . t 1 2

E a concentração final será:

A 1 8 = A 0 8

Esta concentração será a concentração inicial para a próxima meia vida:

t 1 16 = c o n s t a n t e 1 8 A 0 2 = 64 . c o n s t a n t e A 0 2 = 6 4 . t 1 2

E aqui nosso tempo vale:

t T o t a l = t 1 2 + 4 . t 1 2 + 16 . t 1 2 + 64 . t 1 2 = 85 . t 1 2

E é isso ai !

Resposta

  1. t T o t a l = t 1 2 ;
  2. t T o t a l = 5   t 1 2 ;
  3. t T o t a l = 85   t 1 2 .
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