Enunciado

Mostre que duas fases só podem estar em equilíbrio térmico se as respectivas temperaturas são iguais.

Passo 1

Falaaaaaaaaaaaaaaaa Tribuxo?

Bora resolver mais uma questão!?

Vamos começar entendendo o que o exercício quer, ele está falando sobre o sistema estar em equilíbrio quando temos:

T f a s e   A = T f a s e   B

E para mostrar isso, temos que quando um sistema está em equilibro quando a entropia é nula:

d S = 0

Ok, mas temos duas fases, então vamos escrever a variação de entropia em relação a duas fases A e B :

d S = d S A + d S B = 0

Falando um pouco da entropia, temos que ela é uma propriedade extensiva, tá mas o que isso significa?

Significa que ela depende da massa.

Podemos escrever a entropia em termos de U e V :

S = S U , V

Passo 2

A energia, na forma de calor, ela pode ser transferida apenas entre as duas fases, como estamos estudando-as como nosso sistema, teremos que esse sistema é rígido, mas por que rígido?

Podemos assumir isso, porque não temos nada que nos diga que exista uma variação do volume, então:

d V = 0

Temos que:

d V = d V A + d V B = 0

d V A = - d V B

Vamos escrever a fórmula da entropia, como nosso volume e energia interna será constante, teremos:

d S = ∂ S A ∂ U A V d U A + ∂ S A ∂ V A s d V A + ∂ S ∂ U B U d U B + ∂ S B ∂ V B U d V B

Olha o truque desse momento, vamos retomar uma fórmula do capítulo 3:

∂ U ∂ S V = T                                       ∂ S ∂ V S = p T

Mas a gente não tem ∂ U ∂ S , temos ∂ S ∂ U . O que vamos fazer é transformar ∂ U ∂ S no que precisamos, e para isso só precisamos fazer:

∂ S ∂ U V = ∂ U ∂ S V - 1

Então teremos:

∂ U ∂ S V - 1 = T - 1 = 1 T

Passo 3

Agora é momento mais esperado, vamos substituir 1 T e p T em:

d S = 1 T A d U A + p A T A d V A + 1 T B d U B + p B T B d V B

Vamos rever mais uma fórmula do capítulo 3, que é:

d U = T d S - p d V

Como temos que d V = 0 e d S = 0 :

d U = 0

Mas temos duas fazes no nosso sistema, então:

d U A + d U B = 0

d U A = - d U B

Vamos substituir d U A e d V A na primeira equação desse passo:

d S = 1 T A - d U B + p A T A - d V B + 1 T B d U B + p B T B d V B

d S = - 1 T A d U B - p A T A d V B + 1 T B d U B + p B T B d V B

Mas d S = 0 :

0 = - 1 T A d U B - p A T A d V B + 1 T B d U B + p B T B d V B

Agora, vamos colocar d U B e d V B em evidência:

0 = d U B - 1 T A + 1 T B + d U B - p A T A + p B T B

Só existem dois jeitos dessa expressão ser zero:

- 1 T A + 1 T B = 0

T B = T A   m a n i p u l a ç ã o   v i s t a   e m   e x e r c í c i o s   a n t e r i o r e s

Ou:

- p A T A + p B T B

Substituindo T B :

- p A T B + p B T B

Multiplicando tudo por T B :

p B = p A

E conseguimos provar o que o exercício pediu.

Foi trabalhosa, eu sei. Mas conseguimos.

Bora matar mais uma!

Resposta

Todo o processo para demonstrar que p A = p B encontra-se nos passos acima.

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