Enunciado

Uma partícula está num estado descrito pela função de onda Ψ = cos ⁡ χ e i k x + sin ⁡ χ e - i k x

Onde χ c h i é um parâmetro. Qaul é a probabilidade de a partícula ter o momento linear (a) - k ℏ ; (b) + k ℏ ; (c) Que forma teria a função de onda se fosse 90 % certo o momento linear da partícula ser igual a + k ℏ   ?

Passo 1

Faaalaa jooveeem!! Bora de mais uma questãozinha!!

Aqui teremos que aplicar alguns conceitos importantes... para começar, é importante que você dê uma pincelada no exemplo 8.6 do livro... pois lá ele vai te mostrar que e i k x e também o e - i k x são autofunções do operador momento angular e possuem um autovalor igual a + k ℏ e - k ℏ respectivamente.

O que isso quer dizer é que ao aplicarmos o operador de momento angular naquela equação ali do enunciado... obteremos o seguinte:

p ^ Ψ = ± k ℏ   Ψ

Claro que Ψ e ± i k x

Até aqui deboas??

Passo 2

Agora, tem outra coisa muito importante... que é a demonstração do funcionamento da superposição linear... Isso está feito na justificativa 8.4....

Basicamente, ele diz que o valor esperado para um operador é igual a soma ponderada probabilidades de ocorrência de cada autovalor pelos respectivos autovalores.

Ou seja, teremos algo assim:

p ^ = c 1 2 + k ℏ + c 2 2 - k ℏ                         i

Repare, que:

p ^ x Ψ = p ^ x cos ⁡ χ   e i k x + p ^ x sin ⁡ χ e - i k x

E portanto:

p ^ x = cos ⁡ χ p ^ x e i k x + sin ⁡ χ   p ^ x e - i k x

Encontrou alguma semelhança com a equação (i)?

Ainda não?? E agora:

p ^ x = cos ⁡ χ + k ℏ + sin ⁡ χ - k ℏ

Agora sim né?? Hahahaha

Teremos que, as chances de termos + k ℏ é c 1 2 e a mesma ideia para - k ℏ ... ou seja:

c 1 2 = cos 2 ⁡ χ

E

c 2 2 = sin 2 ⁡ ( χ )

E assim fechamos as letras (a) e (b)

Chatinho né?? Mas ainda falta uma reposta... bora nessa então!

Passo 3

O exercício pergunta ainda... qual seria a forma da equação da onda se:

c 1 2 = 0,90

Bom... se c 1 é 90 % ... então:

c 2 2 = 0,10

E então:

cos ⁡ χ = 0,90 0,5 = 0,95

E

sin ⁡ χ = 0,10 0,5 = 0,31

O que significa que a nossa função de onda será:

Ψ = 0,95 e i k x + 0,31 e - i k x

E ficamos por aqui!! Até a próxima!!

Resposta

Portanto:

  1. c 1 2 = cos 2 ⁡ χ ;
  2. c 2 2 = sin 2 ⁡ χ ;
  3. Ψ = 0,95 e i k x + 0,31 e - i k x ;
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