Enunciado

Vimo, na Seção 7.3, como calcular o trabalho de expansão isotérmica reversível de um gás perfeito. Suponha, agora, que a expansão reversível não seja isotérmica e que a temperatura diminua durante a expansão.

  1. Derive uma expressão para o trabalho quando T = T i n i c i a l - c   ( V - V i n i c i a l ) , em que c uma constante positiva.
  2. O trabalho é, neste caso, maior ou menor do que o da expansão isotérmica? Explique suas observações.

Passo 1

Boora começar !!

Sabemos que o trabalho é calculado como:

W = - P ∆ V

Como queremos a derivada:

d W = - P . d V

Se olharmos atentamente a expressão:

P V = n R T

Isolando a pressão:

P = n R T V

Então a pressão varia com o volume. Bora coloca-lo na derivada do trabalho:

d W = - n R T V . d V

E a temperatura nós também já sabemos que varia com o volume, bora substituir:

d W = - n R [ T i n i c i a l - c   ( V - V i n i c i a l ) ] V . d V

Rearranjando a equação:

d W = - n R T i n i c i a l V . d V + n R c   ( V - V i n i c i a l ) V d V

Para determinar o trabalho nós só precisamos integrar:

W = ∫ d W

Então:

W = ∫ - n R T i n i c i a l V . d V + ∫ n R c   ( V - V i n i c i a l ) V d V

Derivamos do volume inicial até o final:

W = ∫ V i V f - n R T i n i c i a l V . d V + ∫ V i V f n R c   ( V - V i n i c i a l ) V d V

Tirando as constantes da integral:

W = - n R T i n i c i a l ∫ V i V f d V V + n R c ∫ V i V f   ( V - V i n i c i a l ) V d V

W = - n R T i n i c i a l ∫ V i V f d V V + n R c   ∫ V i V f d V - ∫ V i V f   V i n i c i a l V d V

W = - n R T i n i c i a l ∫ V i V f d V V + n R c   ∫ V i V f d V - V i n i c i a l ∫ V i V f   d V V

W = - n R T i n i c i a l ∫ V i V f d V V + n R c ∫ V i V f d V   - n R c V i n i c i a l ∫ V i V f   d V V

Integrando:

W = - n R T i ln ⁡ V f V i + n R c ( V f - V i )   - n R c V i n i c i a l ln ⁡ V f V i

Bonita, né?

Achamos nossa equação para o trabalho!

Passo 2

Quando a reação é isotérmica a temperatura não varia e o trabalho fica somente:

W = n R T i ln ⁡ V f V i

Comparando com a anterior:

W = - n R T i ln ⁡ V f V i + n R c ( V f - V i )   - n R c V i n i c i a l ln ⁡ V f V i

Como nós temos a adição de um termo, n R c V f - V i , e a subtração de outro, n R c V i n i c i a l ln ⁡ V f V i , não é possível definir se o trabalho será maior ou menor.

Quase vencendo o capítulooo!

Bora pra próxima !

Resposta

  1. W = n R T i ln ⁡ V f V i + n R c V f - V i - n R c V i n i c i a l ln ⁡ V f V i ;
  2. I m p o s s í v e l   d e f i n i r .
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