Velocidade de decaimento radioativo

Teoria Completa

Eaeeee, tudo bom?

A gente sabe que alguns elementos emitem partículas radioativas naturalmente, né?

O interessante disso é que cada um sofre decaimento de uma maneira diferente! Isso é: o urânio-238 demora um tempo t para emitir radiação, enquanto o carbono-14 demora uma outra quantidade de tempo.

Mas como a gente mede esse tempo de decaimento?

Lei do decaimento radioativo

A cinética de decaimento de um radioisótopo pode ser medida por uma equação de velocidade de 1 a   ordem. Ou seja, a gente pode medir o decaimento radioativo de um elemento por:

v e l o c i d a d e   d e   d e c a i m e n t o = k × N

Onde k é a constante de decaimento e N é o número de núcleos restantes após um tempo t , e sua expressão é:

N = N o × e - k t

Onde N o é o número de núcleos radioativos inicialmente presentes na amostra.

Como toda lei de velocidade de primeira ordem, o gráfico concentração x tempo é uma exponencial. Mas, no caso das reações nucleares, a gente não mede por concentração, e sim por número de núcleos 😊

Obs: a velocidade de decaimento nuclear é chamada de atividade, e é expressa como o número de desintegrações por unidade de tempo! A unidade do SI para a atividade é o bequerel (Bq), definido como desintegração por segundo. Além dela, tem uma unidade mais antiga chamada curie (Ci), definida como 3,7 × 10 10 desintegrações por segundo, velocidade de decaimento de 1g de rádio.

Meia-vida dos elementos radioativos

A meia-vida é uma constante presente em todas as equações cinéticas de 1 a ordem. Você lembra que lá nas equações químicas, ela representava o tempo necessário para que a concentração de uma substância caísse a metade, não é?

Nas reações nucleares não vai ser muito diferente!

A meia-vida de um elemento radioativo é o tempo necessário para que se desintegre a metade do número inicial de núcleos!

Por exemplo, o S r 38 90 tem meia vida de 28,8 anos. Ele decai segundo a equação:

S r 38 90   →   Y 39 90 + e - 1 0

Isso quer dizer que, se eu começo com 10g de S r 38 90 hoje, daqui a 28,8 anos 5g dele já vai ter decaído, liberado os elétrons e se transformado em ítrio-90 ( Y 39 90 ). Se se passarem mais 28,8 anos, os 5g radioativos que eu tinha vão se transformar em 2,5g de estrôncio-90 e 2,5g de ítrio-90, e assim por diante!

Tem algumas características importantes da meia-vida pra guardar no seu coração:

  • Cada elemento tem a sua própria meia vida, que vai de milhares de anos a milionésimos de segundo. Isso depende da identidade do elemento e nada mais 😊
  • As meias-vidas não são afetadas por temperatura, pressão ou estado de combinação química. Isso quer dizer que não temos como acelerar a velocidade de decaimento espontânea de um elemento radioativo!

E como a gente calcula esse tempo de meia-vida, numericamente?

Como a meia vida é a medida do tempo necessário para que metade dos núcleos se desintegre, se usarmos N = N o 2 na fórmula da velocidade, chegamos a:

N o 2 = N o × e - k t

e - k t = 1 2                 ∴             - k t = - ln ⁡ 2

t m e i a   v i d a = ln ⁡ 2 k

Datação por carbono-14

A datação por carbono-14 é uma aplicação importante desse conceito de meia-vida, que serve principalmente para determinar a idade de artefatos arqueológicos através de cálculos pelo decaimento do carbono-14.

Isso porque o carbono-14 tem o tempo de meia-vida de 5730 anos! Esse isótopo do carbono, embora não seja o isótopo principal, está presente na atmosfera em proporção constante com o C 6 12 . Assim, ele participa dos processos biológicos normalmente e tem também uma proporção constante C 6 12   e   C 6 14 nos organismos vivos (que é cerca de 10 12   C 6 12 para 1 C 6 14 ).

Quando o organismo morre, os processos biológicos acabam e a quantidade de carbono segue constante, a não ser pelo decaimento do carbono-14! Analisando uma amostra de tecido morto, podemos saber a quantidade de carbono-12 nesse tecido e o quanto deveria ter de carbono-14 (se o tecido tivesse vivo, a partir da proporção fixa).

Assim, fazendo o cálculo com a meia-vida do C 6 14 , a quantidade de carbono-14 que tem no momento da análise e a quantidade que deveria ter se o tecido estivesse vivo, conseguimos calcular o tempo decorrido desde a morte!

Vamos praticar pra fixar tudo isso? 😊

Expandir

Exercício Resolvido #1

Peter Atkins & Loretta Jones. Princípios da Química, 5ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2012, Exemplo 17.3

Uma das razões pelas quais as armas termonucleares tem de sofrer manutenção regular é que o trício nelas contido sofre decaimento nuclear. Suponha que uma amostra de trício de massa 1g foi armazenada. Que massa desse isótopo permanecerá após 5 a (1 a = 1 ano)?

A constante de decaimento do trício é 0,0564 a - 1 .

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Passo 1

Para calcular a massa que resta, precisamos usar a lei do decaimento nuclear!

N = N o × e - k t

Embora a fórmula seja em número de partículas, a gente também pode usar ela em mols ou em massa! Isso porque o número de partículas é o número de mols vezes o número de avogrado, né? E o número de mols é a massa dividida pela massa molar!

Ou seja: todos esses valores estão interligados, e toda operação matemática que a gente faz na equação (para mudar a unidade de N) também muda a unidade de N o ! No final, o importante é lembrar que os dois ( N   e   N o ) tem que ter a mesma unidade!

Passo 2

Vamos lá então:

m = m 0 × e - k t

m = 1 g × e - 0,0564   a - 1 × 5 a

m = 1 g × e - 0,282

m = 0,754   g

Resposta

0,754 g

Exercício Resolvido #2

BROWN, Theodore; LEMAY, H. Eugene; BURSTEN, Bruce E. Química: a ciência central. 9 ed. Prentice-Hall, 2005, Exercício 21.27

Produtos químicos prejudiciais geralmente são destruídos por tratamento químico. Um ácido, por exemplo, pode ser neutralizado por uma base. Por que o tratamento químico não pode ser usado para destruir os produtos radioativos produzidos em um reator nuclear?

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Passo 1

Os produtos radioativos produzidos em um reator – que em sequência viram lixo radioativo – vão seguir sua meia-vida e sofrer decaimento natural independente dos processos químicos que a gente faça com eles.

As variações de energia de uma reação química não são suficientes para alterar as propriedades dos núcleos radioativos, tanto que se a gente produzir glicose com carbono-14, por exemplo, essa glicose pode ser queimada a gás carbono que esse gás carbono vai ser o C O 2 14 .

Os núcleos vão continuar emitindo radiação e não tem como acelerar a meia-vida deles através de processos químicos ou físicos!

Resposta

Exercício Resolvido #3

Lista de exercícios UFPB – Prof Ary da Silva Maia

O rubídio-87 é um isótopo natural do rubídio. Se sua constante de desintegração é 4,6   x   10 - 19   s - 1 . Qual a sua meia vida em anos?

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Passo 1

Vamos usar a equação da meia-vida!

t m e i a   v i d a = ln ⁡ 2 k

Como k, a constante de desintegração, vale 4,6   x   10 - 19   s - 1 :

t m e i a   v i d a = ln ⁡ 2 4,6   x   10 - 19   s - 1

t m e i a   v i d a = 1,5 × 10 18 s

Passo 2

Só passar esse tempo de meia-vida de segundos para anos...

1,5 × 10 18 s × 1   h o r a 3600   s × 1   d i a 24   h o r a s   × 1   a n o 365   d i a s = 4,75 × 10 10 a n o s

Resposta

4,75 × 10 10 a n o s

Exercício Resolvido #4

BROWN, Theodore; LEMAY, H. Eugene; BURSTEN, Bruce E. Química: a ciência central. 9 ed. Prentice-Hall, 2005, Exercício 21.29

A meia-vida do trítio (hidrogênio-3) é 12,3 anos. Se 48 mg de trítio for liberada de uma usina de energia nucler durante o curso de um acidente, qual massa desse nuclídeo permanecerá após 12,3 anos? E após 49,2 anos?

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Passo 1

Ok, vamos lembrar da definição de meia-vida!

A meia-vida é o tempo necessário para que uma amostra radioativa se desintegre pela metade! Isso é, se eu tinha uma massa de 1g, depois de uma meia vida terei 0,5g ainda intacta e 0,5g que já sofreram decaimento radioativo!

Então, se a meia-vida do trítio é 12,3 anos, isso quer dizer que a cada 12,3 anos sua massa cai pela metade!

Se no começo tínhamos 48 mg, depois de 12,3 anos teremos 24 mg!

Passo 2

Vamos continuar descrevendo o decaimento?

48   m g → 1   m e i a - v i d a =   12,3   a n o s   24   m g → 2   m e i a s - v i d a s = 24,6   a n o s 12 m g   → 3   m e i a s   v i d a s = 36,9   a n o s 6   m g   → 4   m e i a s - v i d a s = 49,2   a n o s   3   m g

Achamos então que daqui a 49,2 anos teremos 3 mg de trítio!

Mas um outro jeito de fazer é simplesmente dividir o número de anos que você quer saber pela meia vida!

49,2   a n o s 12,3   a n o s = 4

Logo, a amostra vai passar por 4 meias-vidas, o que quer dizer que sua amostra vai se dividir por 2 quatro vezes consecutivas!

Atenção: presta atenção porque a amostra não vai ter sua massa dividida por 4, e sim por 2 4 (porque vai ser dividida por 2, e o resultado por 2, e por 2 de novo e assim vai!)

Resposta

Teremos ainda 24 mg depois de 12,3 anos e 3 mg depois de 49,2 anos.

Exercício Resolvido #5

BROWN, Theodore; LEMAY, H. Eugene; BURSTEN, Bruce E. Química: a ciência central. 9 ed. Prentice-Hall, 2005, Exercício 21.30

Leva 5,2 minutos para uma amostra de 1g de F r 210 decair para 0,25 g. Qual a meia vida do F r 210 ?

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Passo 1

Vamos ver o que acontece com 1g de F r 210 passando por suas meias-vidas:

1   g → 1   m e i a - v i d a   0,5 g   → 2   m e i a s - v i d a s 0,25   g

Isso quer dizer que, para chegar a 0,25g o composto precisa passar por 2 meias-vidas.

2 × t 1 / 2 = 5,2   m i n

t 1 / 2 = 2,6   m i n

Resposta

Exercício Resolvido #6

Peter Atkins & Loretta Jones. Princípios da Química, 5ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2012, Exercício 14.47

A desoxiglicose marcada com flúor-18 é comumente usada em varreduras PET para localização de tumores. O flúor-18 tem a meia-vida de 109 min. Quanto tempo leva para que o nível do flúor no corpo caia a 10% do valor inicial?

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Passo 1

Vambora usar o esqueminha de meia-vida! Se a amostra inicial corresponde a 100%...

100 % → 1   t 1 / 2 50 %   → 2   t 1 / 2 25 % → 3   t 1 / 2 12,5 % → 4   t 1 / 2 6,25 %

Como não temos o valor exato para decair a 10% fazendo o esqueminha, vamos apelar para as fórmulas!

É bom analisar que a gente tem que achar alguma coisa um pouco menor do que 4 meias-vidas (436 min)!

A lei do decaimento diz que:

N = N o × e - k t

Se N = 0,1   N o , chegamos a 10% da amostra inicial:

0,1   N o = N o × e - k t

e - k t = 0,1

O problema não dá a constante de decaimento pra gente, mas dá uma informação que nos ajuda a descobrir qual que é essa constante: o valor da meia-vida!

Passo 2

Como a fórmula para a meia-vida é:

t m e i a   v i d a = ln ⁡ 2 k

Substituindo o valor que temos:

109   m i n = ln ⁡ 2 k

k = 6,36 × 10 - 3 m i n - 1

Assim, voltando para o que achamos antes...

e - k t = 0,1

- k t = ln ⁡ 0,1

t = - ln ⁡ 0,1 6,36 × 10 - 3 m i n - 1 = 362   m i n

Resposta

362 minutos

Exercício Resolvido #7

BROWN, Theodore; LEMAY, H. Eugene; BURSTEN, Bruce E. Química: a ciência central. 9 ed. Prentice-Hall, 2005, Exercício 21.35

O rádio-226, que sofre decaimento alfa, tem uma meia-vida de 1600 anos.

a) Quantas partículas alfa são emitidas em 1 min por uma amostra de 5 mg de R a 226 ?

b) Qual é a atividade da amostra em mCi?

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Passo 1

a) Vamos começar escrevendo a equação de decaimento!

R a 88 226 → R n 86 222 + α 2 4

Ou seja, cada núcleo de rádio-226 emite uma partícula alfa!

Para saber quantas partículas alfa são emitidas em 1 min, precisamos calcular quanto de rádio-226 sofre decaimento por minuto, certo?

Na real, então, a gente tem que calcular a velocidade de decaimento por minuto!

v e l o c i d a d e = k N

Como não temos a constante de decaimento, vamos usar a meia-vida para calculá-la!

t m e i a - v i d a = ln ⁡ 2 k

1600   a n o s × 365   d i a s 1   a n o × 24   h o r a s 1   d i a × 60   m i n u t o s 1   h o r a = 8,4 × 10 8 m i n

1600   a n o s = 8,4 × 10 8 m i n = ln ⁡ 2 k

k = 8,25 × 10 - 10   m i n - 1

Passo 2

Agora que temos k, podemos calcular a quantidade de rádio que decai em 1 min!

v e l o c i d a d e = k N = -   8,25 × 10 - 10   m i n - 1 × 5   m g

v e l o c i d a d e = 4,125 × 10 - 9 m g / m i n

Ou seja, 4,125 × 10 - 9 m g de rádio-226 decaem por minuto 😊

A massa de um átomo de rádio-226 é 226u, o que significa que a massa molar desse elemento é 226g!

Em 4,125 × 10 - 9 m g temos:

1   m o l = 6,02 × 10 23 á t o m o s   - 226 g

x   á t o m o s       -   4,125 × 10 - 12   g

x = 1 , 09 × 10 1 0   á t o m o s   d e   r á d i o

Como cada átomo emite uma partícula alfa, em 1 minuto os 1,09 × 10 10 átomos de rádio vão emitir 1,09 × 10 10 partículas alfa!

Passo 3

b) A definição de Ci (Curie) é 3,7 × 10 10 desintegrações por segundo.

Nesse caso, a gente tem 1,09 × 10 10 desintegrações por minuto! Então vamos passar para segundos 😊

1,09 × 10 10   d e s i n t e g r a ç õ e s 1   m i n × 1   m i n 60   s = 1,8 × 10 8   d e s i n t e g r a ç õ e s s e g

Agora, passando para Ci...

3,7 × 10 10   d e s i n t e g r a ç õ e s s - 1   C i

1,8 × 10 8   d e s i n t e g r a ç õ e s s - x

x = 4,865 × 10 - 3 C i

Assim, a atividade em mCi ( 10 - 3 C i ) é 4,865 mCi.

Resposta

a)   1,09 × 10 10 partículas alfa

b) 4,865 mCi

Exercício Resolvido #8

Peter Atkins & Loretta Jones. Princípios da Química, 5ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2012, Exercício 17.41

O potássio-40, que se presume existir desde a formação da Terra, é usado para a datação de minerais. Se existem três quintos do potássio-40 original em uma rocha, quantos anos tem a rocha?

Dados: meia vida do potássio-40 é de 1,248 × 10 9   a n o s .

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Passo 1

Para a gente descobrir a idade da rocha, vamos precisar usar a expressão que relaciona a quantidade inicial e a final com o tempo passado:

N = N o × e - k t

Como N é 3 5 de N o , vamos usar esse dado na fórmula:

N = 3 5 N o

3 5 N o = N o × e - k t

e - k t = 3 5

- k t = ln ⁡ 3 5  

Para descobrir t, então, só precisamos calcular o valor de k! E pra isso vamos usar a fórmula da meia vida 😊

t m e i a   v i d a = ln ⁡ 2 k

1,248 × 10 9   a n o s = ln ⁡ 2 k

k = 5,55 × 10 - 10   a - 1

Passo 2

Substituindo k na expressão de antes....

- k t = ln ⁡ 3 5

- 5,55 × 10 - 10   a - 1 × t = ln ⁡ 3 5

t = 9,2 × 10 8   a

A gente pode pensar que o resultado parece certo, já que ele tá próximo da meia vida do potássio-40, mas ainda não chegou ela (e por isso a gente ainda tem mais da metade do elemento na rocha 😊).

Resposta

9,2 × 10 8   a n o s

Exercício Resolvido #9

BROWN, Theodore; LEMAY, H. Eugene; BURSTEN, Bruce E. Química: a ciência central. 9 ed. Prentice-Hall, 2005, Exercício 21.39

A meia-vida para o processo U 238 → P b 206 é 4,5 × 10 9   a . Uma amostra de mineral contém 50 mg de U 238 e 14 mg de P b 206 . Qual é a idade do mineral?

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Passo 1

Ok, vamos lá! Para a gente calcular a idade desse mineral, precisamos usar tanto o conceito de meia-vida, quanto a velocidade de decaimento!

Se a gente tem 50 mg de urânio-238 e 14 mg de chumbo-206, isso quer dizer que os 14 mg de chumbo vieram do decaimento do urânio!

1   m o l   u r â n i o - 238 → d e s i n t e g r a   e   g e r a 1   m o l   d e   c h u m b o - 206

238   g   u r â n i o - 206 g   d e   c h u m b o

x - 14   m g   d e   c h u m b o

x = 16   m g   d e   u r â n i o

Assim, a gente pode considerar que a amostra inicial tinha:

50   m g ⏟ c o n t i n u a   a í   r a d i o a t i v o ,   p r o n t o   p r a   d e s i n t e g r a r + 16   m g ⏟ s e   d e s i n t e g r o u   e m   c h u m b o - 206 = 66   m g

Aplicando na fórmula de N...

N = N o × e - k t

50   m g = 66   m g × e - k t

Como a gente não tem o k, vamos ter que usar a fórmula da meia vida para calcular!

Passo 2

t m e i a   v i d a = ln ⁡ 2 k

4,5 × 10 9   a = ln ⁡ 2 k

k = 1,54 × 10 - 10   a - 1

Assim...

50   m g = 66   m g × e - k t

e - k t = 0,7575

- 1,54 × 10 - 10   a - 1 × t = ln ⁡ 0,7575

t = 1,8 × 10 9   a n o s

Resposta

1,8 × 10 9   a n o s

Exercício Resolvido #10

Peter Atkins & Loretta Jones. Princípios da Química, 5ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2012, Exercício 17.75

Descobriu-se que 2 × 10 - 5 mols de átomos de radônio-222 ( t 1 / 2 = 3,82   d ) entraram num porão fechado cujo volume era 2 × 10 3 m 3 .

a) Qual é a atividade inicial do radônio em picocuries por litro? ( p C i . L - 1 )

b) Quantos átomos de R n 222 permacerão após um dia (24 horas)?

c) Quanto tempo levará para o radnio se decompor a um nível inferior ao recomendado pela Agência de Proteção Ambiental, que é de 4 p C i . L - 1 ?

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Passo 1

a) Para calcular a velocidade, precisamos lembrar só da fórmula:

v e l o c i d a d e = k × N

N é a quantidade de átomos envolvidas no processo de decaimento, e isso o enunciado dá pra gente! Para calcular k, vamos usar a meia vida:

t m e i a   v i d a = ln ⁡ 2 k

3,82   d = ln ⁡ 2 k

k = 0,1814   d - 1

A velocidade, então, vai ser:

v e l o c i d a d e = 0,1814   d - 1 × 2 × 10 - 5   m o l s

v e l o c i d a d e = 3,628 × 10 - 6 m o l s / d i a

A atividade em curie (Ci) é calculada por 3,7 × 10 10 desintegrações por segundo, ou seja, 3,7 × 10 10 átomos sofrendo decaimento por segundo! Precisamos fazer umas modificações pra chegar em Curie! Vamos lá:

3,628 × 10 - 6 m o l s × 6,02 × 10 23   á t o m o s 1   m o l = 2,18 × 10 18   á t o m o s

2,18 × 10 18   á t o m o s 1   d i a × 1   d i a 24   h o r a s × 1   h o r a 60   m i n × 1   m i n 60   s e g = 2,528 × 10 13   á t o m o s / s e g

Passando isso para Ci...

1   C i - 3,7 × 10 10   d e s / s e g  

x -   2,528 × 10 13   d e s / s e g

x = 683,2 4   C i

Passo 2

Para calcular em Ci por litro, precisamos levar em conta o volume onde os átomos estão!

2 × 10 3 m 3 = 2 × 10 6 d m 3 = 2 × 10 6 L

683,24   C i 2 × 10 6 L = 3,4162 × 10 - 4   C i / L

Como 1   p i c o c u r i e   =   10 12   C i , essa amostra vai ter uma atividade de 3,4 × 10 8   p C i / L .

Passo 3

b) Para calcular quanto ainda vai ter no porão, vamos usar a fórmula que relaciona quantidade e tempo:

N = N o × e - k t

N o = 2 × 10 - 5 m o l s × 6,02 × 10 23   á t o m o s 1   m o l = 1,204 × 10 19   á t o m o s

N = 1,204 × 10 19   á t o m o s × e - 0,1814   d - 1 ×   1   d

N = 1,004 × 10 19   á t o m o s   d e   R n

Passo 4

c) Para se decompor a uma velocidade de 4 pCi/L, ele vai precisar ter essa velocidade de decaimento:

v e l o c i d a d e = k × N

4   p C i / L = k × N

O k independe da quantidade de material que tem, ele só depende do elemento! Ou seja, com essa fórmula a gente consegue calcular qual quantidade de radnio vai decair nessa velocidade 😊

4   p C i / L = k × N