Casos especiais do critério de Routh-Hurwitz

Teoria Completa

Introdução

Bom agora que você já consegue utilizar o critério de Routh-Hurwitz com um pé nas costas e os olhos vendados, você deve estar achando que já está preparado para tudo, que já pode sair por aí determinando estabilidade de qualquer sistema a torto e a direito e que tudo na vida são flores. Spoiler: não são.

Existem alguns casos bem específicos que vão deixar a gente numa sinuca de bico. Você vai olhar para eles e ficar assim:

Mas calma jovem, estou aqui para te ajudar.

São dois casos basicamente que vão ser uma pedra no nosso sapato: quando tivermos um zero na primeira coluna do diagrama de Routh-Hurwitz e quando tivermos uma linha inteira composta de zeros no diagrama.

Nesse tópico vamos aprender estratégias para contornar essas situações e poder determinar a estabilidade do sistema mesmo assim. Sigam-me os bons!

Um zero na primeira coluna – Método do épsilon

Um zero na primeira coluna sempre será algo que vai atrapalhar demais quando estivermos aplicando o critério de Routh-Hurwitz. Isso acontece porque os coeficientes da primeira coluna sempre são os denominadores na hora de determinar os coeficientes da linha debaixo. Se tivermos um zero na primeira coluna, na linha seguinte teremos uma divisão por zero, e nós queremos fugir de divisões por zero.

Então olha só, considere a seguinte função de transferência de uma mala fechada:

C s R s = 1 s 5 + 2 s 4 + 3 s 3 + 6 s 2 + 5 s + 3

A equação característica será:

s 5 + 2 s 4 + 3 s 3 + 6 s 2 + 5 s + 3 = 0

Vamos aplicar o critério de Routh-Hurwitz normalmente como aprendemos na seção anterior. Primeiramente devemos completar as duas primeiras com os coeficientes da equação característica:

Por enquanto tudo certo, nada fora do normal. Seguindo com os cálculos para a próxima linha usando as correlações que vimos no último tópico:

Opa, apareceu um zero ali na primeira coluna, mas vamos continuar para ver o que aconteceria.

Para calcular o primeiro coeficiente da linha 4 , deveríamos fazer:

c 1 = 0 * 6 - 2 * 3,5 0 = - 7 0

Como havia dito, quando temos um zero na primeira coluna, na linha seguinte em que esse zero aparece teremos uma divisão por zero. E é aqui que a gente fica encurralado sem saber para onde correr.

Como eu disse, nem tudo na vida são flores, mas também, nem tudo são espinhos. Ainda bem que algum consagrado inventou o método do épsilon.

Esse método consiste em substituir o zero na primeira coluna por um épsilon ( ϵ ) e calcular todos os valores seguintes do diagrama em função desse épsilon.

Sendo assim:

Por fim, o que devemos fazer é considerar dois cenários: caso épsilon seja um número pequeno positivo, e caso épsilon seja um número pequeno negativo, e avaliar para cada um dos casos quais seriam os sinais dos coeficientes da primeira coluna. Então vamos lá:

Caso épsilon seja um número muito pequeno positivo o primeiro coeficiente da linha 4 seria negativo, e o primeiro coeficiente da linha 5 seria positivo. Sendo assim, haveria mudança de sinal da linha 3 para a linha 4 , e da linha 4 para a linha 5 .

Caso épsilon seja um número muito pequeno negativo. O primeiro coeficiente da linha 3 seria negativo e o primeiro coeficiente da linha 4 e da linha 5 seriam positivos. Sendo assim, ocorreriam mudanças de sinal da linha 2 para a linha 3 e da linha 3 para a linha 4 .

Portanto, o sistema é instável. Para que ele fosse estável ele não poderia apresentar nenhuma mudança de sinal em ambos os casos.

Uma linha composta de zeros

Um outro caso que pode aparecer também para nos atazanar é quando temos uma linha inteira composta por zeros. Vamos ver um exemplo com a seguinte função de transferência para uma malha fechada.

C s R s = 1 s 5 + s 4 + 6 s 3 + 6 s 2 + 8 s + 8

A equação característica é então:

s 5 + s 4 + 6 s 3 + 6 s 2 + 8 s + 8 = 0

Colocando no diagrama de Routh-Hurwitz:

Calculando a próxima linha:

E agora, como sairemos dessa enrascada? É fácil, olha só.

É importante ressaltar que sempre que tivermos duas linhas iguais, como no exemplo, cairemos nesse caso de ter uma linha de zeros, mas nem sempre que tivermos uma linha de zeros, as duas primeiras linhas serão iguais.

Quando isso acontecer nós invocaremos um polinômio auxiliar. O polinômio auxiliar será obtido através da linha anterior à linha de zeros, nesse caso, a linha será a linha 2 .

Cada linha do diagrama de Routh-Hurwitz tem uma potência. A primeira linha tem potência igual à ordem do polinômio da equação característica, para esse caso será 5 , a segunda linha uma ordem a menos e assim por diante.

Para determinar nosso polinômio auxiliar, nós vamos olhar para a ordem da linha acima, como a linha acima é a segunda linha, o polinômio terá ordem 4 . Os coeficientes desse polinômio serão os coeficientes da linha acima, e sempre pularemos uma potência, ou seja, vamos começar na potência de 4, seguir para a de 2 e terminar na 0. Sendo assim, o nosso polinômio auxiliar será:

P s = s 4 + 6 s 2 + 8

Repare que começamos com s 4 porque a segunda linha tem ordem 4 . Fomos pulando as potências e os coeficientes do polinômio são os coeficientes da segunda linha do diagrama.

Agora devemos derivar o nosso polinômio em relação a s :

d P s d s = 4 s 3 + 12 s + 0

Os coeficientes desse novo polinômio serão os coeficientes que substituiremos na linha de zeros:

Agora é só continuar resolvendo normalmente:

Não existe mudança de sinal entre os coeficientes da primeira coluna, o que indica que o sistema é estável.

Uma propriedade bacana é que a presença de uma linha de zeros indica que existem raízes da equação característica que são simétricas com relação à origem. O número de raízes simétricas é igual ao grau do polinômio auxiliar.

É legal perceber que depois da aparição da linha de zeros (e da determinação do polinômio auxiliar) as trocas de sinais são referentes às raízes simétricas. Ou seja, se depois da aparição da linha de zeros, não acontecer troca de sinais, significa que não existe nenhuma raiz simétrica no semiplano direito, dessa forma, a única forma das raízes serem simétricas com relação à origem é se elas estiverem sobre o eixo imaginário i ω . Vamos explorar essa propriedade melhor nos exercícios.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Determine quantas raízes no semiplano direito possui o polinômio abaixo:

P s = 3 s 3 + 2 s + 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para saber quantas raízes do polinômio serão poxitivas (semiplano direito) podemos usar o critério de Roth-Hurwitz. A quantidade de troca de sinais que ocorrerem na primeira coluna do diagrama corresponderá ao número de raízes no semiplano direito.

Devemos então elaborar o diagrama de Routh do sistema, seguindo o modelo:

Passo 2

O primeiro passo, será preencher a primeira e a segunda linha com os coeficientes da equação característica:

Logo de cara vemos que algo de errado não está certo. Esse zero na primeira coluna vai complicar a nossa vida, para lidar com ele a gente substitui o zero por épsilon, e segue a partir daí:

Passo 3

Vamos preencher a linha três seguindo as correlações de Routh-Hurwitz:

b 1 = ϵ 2 - 3 1 ϵ = 2 ϵ - 3 ϵ

b 2 = 0

Colocando a nova linha no diagrama:

E prosseguindo a montagem:

Passo 4

Vamos fazer a análise do nosso diagrama agora. Para isso precisamos imaginar que épsilon é um número muito pequeno, positivo ou negativo, e ver o que acontece com os sinais dos números da primeira coluna.

Se épsilon for um número positivo muito pequeno, nós teremos que o número na primeira coluna da segunda linha será positivo, e da terceira linha será negativo. Sendo assim, ocorrerão duas trocas de sinais, da segunda para a terceira linha e da terceira para a quarta.

Agora se épsilon for um número pequeno negativo, nós teremos o número da primeira coluna na segunda linha negativo e na terceira linha positivo. Portanto, acontecerão também duas trocas de sinais: da primeira para a segunda linha e da segunda para a terceira.

Então chegamos à conclusão que existem duas raízes positivas do polinômia porque temos duas trocas de sinais na primeira coluna do diagrama de Routh-Hurwitz.

Resposta

Duas raízes no semiplano direito

Exercício Resolvido #2

Norman N. Nise, Engenharia de sistemas de controle, 6ª ed., Rio de Janeiro, 2012, Problema 6.3

Utilizando a tabela de Routh, diga quantos polos da função a seguir estão no semiplano da

direita, no semiplano da esquerda e sobre o eixo i ω :

T s = s + 8 s 5 - s 4 + 4 s 3 - 4 s 2 + 3 s - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para determinar quantas raízes estarão no semiplano da direita, podemos utilizar o método de Routh-Hurwitz. O número de mudanças de sinal na primeira coluna do diagrama corresponderá ao número de raízes no semiplano direito.

O exercício já nos deu a função de transferência em malha fechada. Para aplicar o método de Routh-Hurwitz precisamos da equação característica, que nada mais é do que o denominador dessa função:

s 5 - s 4 + 4 s 3 - 4 s 2 + 3 s - 2 = 0

Devemos então elaborar o diagrama de Routh do sistema, seguindo o modelo:

Passo 2

O primeiro passo, será preencher a primeira e a segunda linha com os coeficientes da equação característica:

Passo 3

Vamos preencher a linha três seguindo as correlações de Routh-Hurwitz:

b 1 = - 1 4 - 1 - 4 - 1 = 0

b 2 = - 1 3 - 1 - 2 - 1 = 1

b 3 = 0

Colocando a nova linha no diagrama:

Demos de cara com um problema, que é a presença de um zero na primeira linha. Para contornar esse problema, vamos substituir esse zero po um épsilon e seguir nossa vida como se nada tivesse acontecido:

Passo 4

Seguindo a montagem do diagrama teremos:

Para determinar a estabilidade precisamos ver o que acontece quando épsilon assume valores muito pequenos.

Se o épsilon for um número muito pequeno positivo o número da primeiro coluna da linha três será positivo, da linha quatro também será positivo, e o mesmo acontecerá na linha cinco. A primeira coluna teria portanto três trocas de sinais: da primeira para a segunda linha, da segunda para a terceira e da quinta para a sexta.

Da mesma forma, se épsilon for um número negativo muito pequeno, teremos o termo da primeira coluna na linha três negativo, e nas linhas quatro e cinco positivo, que resultaria em três trocas de sinais novamente: da linha um para a dois, da três para a quatro e da cinco para a seis.

Portanto, temos três polos no semiplano direito e dois no semiplano esquerdo.

Resposta

Portanto, temos três polos no semiplano direito e dois no semiplano esquerdo.

Duas raízes no semiplano direito e três no semiplano esquerdo.

Exercício Resolvido #3

Norman N. Nise, Engenharia de sistemas de controle, 6ª ed., Rio de Janeiro, 2012, Exemplo 6.7

Determine o número de polos no semiplano da esquerda e no semiplano da da direita para o sistema da figura abaixo:

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Passo 1

Primeiramente, devemos determinar qual é a nossa função de transferência em malha fechada para conseguir a equação característica do sistema.

Usando álgebra de diagrama de blocos teremos:

Y s X s = 1 2 s 5 + 3 s 4 + 2 s 3 + 3 s 2 + 2 s + 1

A equação característica do sistema é sempre o denominador da função de transferência em malha fechada. Portanto, a nossa equação característica será:

2 s 5 + 3 s 4 + 2 s 3 + 3 s 2 + 2 s + 1 = 0

Devemos então elaborar o diagrama de Routh do sistema, seguindo o modelo:

Passo 2

O primeiro passo, será preencher a primeira e a segunda linha com os coeficientes da equação característica:

Passo 3

Vamos agora calcular os coeficientes da terceira linha conforme as expressões abaixo:

b 1 = a 4 a 3 - a 5 a 2 a 4 = 3 2 - 2 3 3 = - 0

b 2 = a 4 a 1 - a 5 a 0 a 4 = 3 2 - 2 1 3 = 4 3

b 3 = 0

Colocando os valores no diagrama:

Temos aqui um 0 na primeira coluna, o que é um problema, vamos então utilizar o método do épsilon, substituir nosso zero, e continuar daí:

Passo 4

Continuando montando o diagrama a partir daí, teremos:

Para determinar a estabilidade precisamos ver o que acontece quando épsilon assume valores muito pequenos.

Por exemplo, se épsilon for um número positivo muito pequeno, o termo da primeira coluna da linha cinco assumirá um valor negativo, enquanto o termo da primeira coluna será positivo, tendo assim duas trocas de sinais na primeira coluna: da linha três para a linha quatro, e da linha quatro para a linha cinco.

Da mesma forma, se épsilon for um número negativo muito pequeno, teremos o termo da primeira coluna na linha três negativo, na linha quatro positivo, e na linha cinco positivo, tendo novamente duas trocas de sinais.

Portanto, o sistema é instável e apresenta duas raízes no semiplano direito, pois a primeira coluna do diagrama de Routh-Hurwitz mostra duas trocas de sinais.

Resposta

Duas raízes no semiplano direito e três no semiplano esquerdo.

Exercício Resolvido #4

Professora Ninoska Bojorge,UFF, Lista 4, 2016.1, Questão 3

Dado o sistema em malha fechada

G s = 1 s 5 + 2 s 4 + 2 s 3 + 4 s 2 + 11 s + 10

Determine a estabilidade deste sistema pelo método de Routh-Hurwitz.

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Passo 1

Para aplicar o método de Routh-Hurwitz, precisamos definir a equação característica do sistema.

A equação característica do sistema é sempre o denominador da função de transferência em malha fechada. Portanto, a nossa equação característica será:

s 5 + 2 s 4 + 2 s 3 + 4 s 2 + 11 s + 10 = 0

Devemos então elaborar o diagrama de Routh do sistema, seguindo o modelo:

Passo 2

O primeiro passo, será preencher a primeira e a segunda linha com os coeficientes da equação característica:

Passo 3

Vamos agora calcular os coeficientes da terceira linha conforme as expressões abaixo:

b 1 = a 4 a 3 - a 5 a 2 a 4 = 2 2 - 1 4 2 = - 0

b 2 = a 4 a 1 - a 5 a 0 a 4 = 2 11 - 1 10 2 = 6

b 3 = 0

Colocando os valores no diagrama:

Opa! Caímos naquele caso onde temos um zero na primeira coluna. Não é legal quando acontece isso porque se não fizermos nada na próxima linha teremos uma divisão por zero que vai travar todo o nosso diagrama, sendo assim, uma solução rápida para driblar esse problema é substituir o zero por épsilon.

Passo 4

Vamos então continuar calculando o nosso diagrama a partir daí. Sempre que épsilon aparecer, a gente deixa o valor em função de épsilon.

Para determinar a estabilidade precisamos ver o que acontece quando épsilon assume valores muito pequenos.

Se épsilon for muito pequeno e positivo, o valor da primeira coluna na terceira linha será positivo, na quarta linha, porém, será negativo, e na quinta linha ele volta a ser positivo, tendo portanto duas trocas de sinais.

Se ele for negativo, o valor da terceira linha será negativo, e os valores da quarta e da quinta linha serão positivos. Teremos novamente duas trocas de sinais.

Portanto, o sistema é instável e existem duas raízes da equação característica no semiplano direito.

Resposta

Sistema instável

Exercício Resolvido #5

Norman N. Nise, Engenharia de sistemas de controle, 6ª ed., Rio de Janeiro, 2012, Problema 6.4

A função de transferência em malha fechada de um sistema é

T s = s 3 + 2 s 2 + 7 s + 21 s 5 - 2 s 4 + 3 s 3 - 6 s 2 + 2 s - 4

Determine quantos polos em malha fechada estão no semiplano da direita, no semiplano da

esquerda e sobre o eixo i ω .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para aplicar o método de Routh-Hurwitz, precisamos definir a equação característica do sistema.

A equação característica do sistema é sempre o denominador da função de transferência em malha fechada. Portanto, a nossa equação característica será:

s 5 - 2 s 4 + 3 s 3 - 6 s 2 + 2 s - 4 = 0

Devemos então elaborar o diagrama de Routh do sistema, seguindo o modelo:

Passo 2

O primeiro passo, será preencher a primeira e a segunda linha com os coeficientes da equação característica:

Passo 3

Vamos agora calcular os coeficientes da terceira linha conforme as expressões abaixo:

b 1 = a 4 a 3 - a 5 a 2 a 4 = - 2 3 - 1 - 64 - 2 = - 0

b 2 = a 4 a 1 - a 5 a 0 a 4 = - 2 2 - 1 - 4 - 2 = 0

b 3 = 0

Colocando os valores no diagrama:

Vixi, demos de cara com uma linha de zeros. Para resolver isso, devemos utilizar o polinômio auxiliar, que é sempre retirado da linha anterior. Como a linha anterior é a segunda linha do diagrama e a equação característica do sistema tem ordem cinco, o polinômio auxiliar terá ordem quatro. Sendo assim ele será:

P s = - 2 s 4 - 6 s 2 - 4

Lembra sempre que o polinômio auxiliar sempre pula um termo. Então se ele tem ordem quatro, ele não vai apresentar os termos de ordem ímpar.

Agpra precisamos derivar o nosso polinômio auxiliar:

P ' s = - 8 s 3 - 12 s

Os coeficientes desse novo polinômio serão os números que colocaremos no lugar da linha de zeros.

Passo 4

Vamos então continuar calculando o nosso diagrama a partir daí.

Vamos analisar o diagrama que obtivemos agora.

Existe uma troca de sinais entre a primeira e a segunda linha, o que indica a presença de um polo no semiplano direito.

Tivemos uma linha de zeros, e o nosso polinômio auxiliar foi:

P s = - 2 s 4 - 6 s 2 - 4

Como o polinômio auxiliar foi de ordem 4, isso indica que temos 4 polos em simetria com relação à origem.

Entretanto, após a aparição da linha de zeros, não tivemos nenhuma troca de sinal, o que indica que nenhum dos polos em simetria está no semiplano direito, portanto, a única forma desses polos serem simétricos em relação à origem é estando os quatro sobre o eixo i ω .

Portanto temos um polo no semiplano direito e quatro polos sobre o eixo i ω .

Resposta

Um polo no semiplano direito e quatro polos sobre o eixo i ω .

Exercício Resolvido #6

Norman N. Nise, Engenharia de sistemas de controle, 6ª ed., Rio de Janeiro, 2012, Problema 6.5

A função de transferência em malha fechada de um sistema é

T s = s 2 + 4 s - 3 s 4 + 4 s 3 + + 8 s 2 + 20 s - 15

Determine quantos polos em malha fechada estão no semiplano da direita, no semiplano da

esquerda e sobre o eixo i ω .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para aplicar o método de Routh-Hurwitz, precisamos definir a equação característica do sistema.

A equação característica do sistema é sempre o denominador da função de transferência em malha fechada. Portanto, a nossa equação característica será:

s 4 + 4 s 3 + + 8 s 2 + 20 s - 15 = 0

Devemos então elaborar o diagrama de Routh do sistema, seguindo o modelo:

Passo 2

O primeiro passo, será preencher a primeira e a segunda linha com os coeficientes da equação característica:

Passo 3

Vamos agora calcular os coeficientes da terceira linha conforme as expressões abaixo:

b 1 = a 3 a 2 - a 4 a 1 a 3 = 4 8 - 1 20 4 = 3

b 2 = a 3 a 0 - a 4 a - 1 a 3 = 4 15 - 1 0 4 = 15

b 3 = 0

Colocando os valores no diagrama:

Passo 4

Prosseguindo para a quarta linha:

c 1 = 3 20 - 4 15 3 = 0

c 2 = 3 0 - 4 0 3 = 0

Colocando no diagrama:

Bom, caímos numa linha de zeros. Sendo assim, precisamos do nosso polinômio auxiliar que pegaremos da linha de cima. A linha de cima é a terceira linha, como a primeira tem ordem quatro, a segunda terá ordem três e a terceira, ordem dois. Portanto o nosso polinômio auxiliar será:

P s = 3 s 2 + 15

Agora devemos derivar o polinômio para obter os valores que colocaremos no diagrama:

P ' s = 6 s

Colocando no diagrama:

Passo 5

Prosseguinto o restante da montagem do diagrama agora:

Não temos nenhuma troca de sinais na primeira coluna, o que indica que não existem raízes no semiplano direito.

Além disso, o nosso polinômio auxiliar apresentou ordem 2, o que significa que existem duas raízes simétrica em relação à origem. Como essas raízes não estão no semiplano direito, a única forma de elas serem simétricas é estando sobre o eixo i ω .

Portanto, temos duas raízes no semiplano esquerdo e duas raízes sobre o eixo i ω .

Resposta

Duas raízes no semiplano esquerdo e duas raízes sobre o eixo i ω .

Exercício Resolvido #7

Norman N. Nise, Engenharia de sistemas de controle, 6ª ed., Rio de Janeiro, 2012, Problema 6.11

Considere o sistema com realimentação unitária da figura abaixo com

G s = 1 4 s 2 ( s 2 + 1 )

Utilizando o critério de Routh-Hurwitz, determine a região do plano s onde os polos do

sistema em malha fechada estão localizados.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para aplicar o método de Routh-Hurwitz, precisamos definir a equação característica do sistema, e para encontrar a equação característica, precisamos da função de transferência em malha fechada para o sistema.

Utilizando álgebra de diagrama de blocos, teremos:

C s R s = G s 1 + G s

Substituindo:

G s = 1 4 s 2 ( s 2 + 1 )

C s R s = 1 4 s 2 ( s 2 + 1 ) 1 + 1 4 s 2 ( s 2 + 1 )

Manipulando a expressão encontrada:

C s R s = 1 4 s 2 s 2 + 1 + 1 = 1 4 s 4 + 4 s 2 + 1

A equação característica do sistema é sempre o denominador da função de transferência em malha fechada. Portanto, a nossa equação característica será:

4 s 4 + 4 s 2 + 1 = 0

Devemos então elaborar o diagrama de Routh do sistema, seguindo o modelo:

Passo 2

O primeiro passo, será preencher a primeira e a segunda linha com os coeficientes da equação característica:

Logo de cara já encontramos uma linha de zeros na segunda linha. Precisaremos então usar o nosso polinômio auxiliar para encontrar novos valores para a nossa linha.

Nesse caso, o polinômio auxiliar terá o mesmo grau da primeira linha, ou sea, quatro, e coincidentemente será igual à nossa equação característica:

P s = 4 s 4 + 4 s 2 + 1

Derivando o polinômio auxiliar:

P ' s = 16 3 + 8 s

Com os coeficientes desse novo polinômio, podemos substituir a linha de zeros que tínhamos encontrado antes:

Passo 3

Para a terceira linha teremos:

b 1 = 16 4 - 4 8 16 = 2

b 2 = 16 1 - 4 0 16 = 1

b 3 = 0

E a quarta linha:

c 1 = 2 8 - 16 1 2 = 0

c 2 = 2 0 - 16 0 2 = 0

Passo 4

Inferno! Mais uma vez uma linha de zeros, vamos lá novamente, polinômio auxiliar:

P s = 2 s 2 + 1

Derivando o polinômio auxiliar:

P ' s = 4 s

Substituindo a linha de zeros:

Terminando de preencher o diagrama teremos:

Passo 5

Falta agora responder onde estão os polos desse sistema em malha fechada.

Bom, uma coisa que podemos reparar logo de cara é que nosso primeiro polinômio auxiliar teve grau quatro, o que significa que existem 4 polos simétricos no nosso sistema, como 4 também é o grau da equação característica, podemos dizer que todos os polos do sistema em malha fechada são simétricos.

Além disso, não tivemos nenhuma mudança de sinal, o que indica que não temos nenhum polo no semiplano direito. Sendo assim, como todos os polos são simétricos e não temos nenhum polo no lado direito, podemos concluir que todos os polos do sistema estão sobre o eixo i ω .

Resposta

Todos os quatro polos estão sobre o eixo i ω .

Exercício Resolvido #8

Norman N. Nise, Engenharia de sistemas de controle, 6ª ed., Rio de Janeiro, 2012, Problema 6.6

Quantos polos estão no semiplano da direita, no semiplano da esquerda e sobre o eixo i ω para o sistema em malha fechada abaixo:

G s = - 6 s 6 + s 5 - 6 s 4 + s 2 + s - 6

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para aplicar o método de Routh-Hurwitz, precisamos definir a equação característica do sistema. A equação característica do sistema é sempre o denominador da função de transferência em malha fechada. Como a função de transferência já foi dada, a nossa equação característica será:

s 6 + s 5 - 6 s 4 + s 2 + s - 6 = 0

Devemos então elaborar o diagrama de Routh do sistema, seguindo o modelo:

Passo 2

O primeiro passo, será preencher a primeira e a segunda linha com os coeficientes da equação característica:

Passo 3

Para a terceira linha teremos:

b 1 = 1 - 6 - 1 0 1 = - 6

b 2 = 1 1 - 1 1 1 = 0

b 3 = 1 - 6 - 1 0 1 = - 6

Adicionando a nova linha:

E a quarta linha:

c 1 = - 6 0 - 1 0 ( - 6 ) = 0

c 2 = - 6 1 - 1 - 6 ( - 6 ) = 0

c 3 = 0

Colocando a quarta linha:

Passo 4

Caímos no caso da linha só de zeros. Vamos então determinar nosso polinômio auxiliar a partir da linha anterior:

P s = - 6 s 4 - 6

Derivando o polinômio:

P ' s = - 24 s 3

Podemos agora substituir o coeficientes obtidos no lugar da linha de zeros:

Passo 5

Vamos para a quinta linha agora:

d 1 = - 24 0 - - 6 0 - 24 = 0

d 2 = - 24 - 6 - - 6 0 - 24 = - 6

d 3 = 0

Putz, agora ainda fomos abençoados com um zero na primeira coluna. Vamos ter que usar o método do épsilon:

Famos finalizar agora calculando tudo em função de épsilon:

Passo 6

Vamos fazer a nossa análise então. Primeiramente, vamos ver quantas mudanças de sinal existem na primeira coluna. Se épsilon for positivo teremos uma mudança de sinal da segunda para a terceira linha, da quarta para quinta e da quinta para sexta. Três mudanças de sinais.

Se épsilon for negativo, teremos mudança de sinal da segunda para a terceira linha, da quinta para a sexta e da sexta para a sétima. Novamente três mudanças de sinal.

Sendo assim, temos três polos no lado direito. Mas e os outros três polos, estão do lado esquerdo ou sobre o eixo i ω ?

O nosso polinômio auxilizar apareceu na linha quatro e tinha grau quatro também. Sendo assim temos quatro polos simétricos e dois assimétricos. Uma mudança de sinal aconteceu antes da linha de zero aparecer, portanto entre os assimétricos um polo está no lado esquerdo e um no lado direito.

Após a linha de zeros, tivemos duas mudanças de sinais, o que indica que dois dos polos simétricos estão do lado direito, sendo assim, para que esses polos tenham simetria em relação à origem, é preciso que os outros polos apareçam do lado esquerdo. Sendo assim, não temos nenhum polo sobre o eixo i ω .

Resposta

Três polos do lado direito e três polos do lado esquerdo.

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