Erro em regime permanente e sensibilidade à perturbação

Teoria Completa

Introdução

O erro no regime permanente é um dos principais fatores que caracterizam o quão bom um sistema de controle é. Por isso é muito importante saber determinar esse erro e conhecer todas as implicações e tudo que envolve esse tópico tão importante no estudo de controle.

O erro em regime permanente, é a diferença entre entrada e saída quando t → ∞ . Esse erro pode ser 0 , pode ser um constante, ou pode ser infinito. Veremos daqui a pouco como calcularemos isso.

Na figura acima, o gráfico representa três curvas: uma entrada degrau, e duas respostas de saída à essa mesma entrada.

Podemos perceber que a quando t → ∞ , a saída 1 tende ao mesmo valor do degrau da entrada, enquanto que a saída 2 fica constante em um valor abaixo do valor da entrada. Sendo assim dizemos que:

e 1 ∞ = 0

e 2 ∞ = c

Ok, mas como a gente calcula esse erro? E como eu sei quando o erro é 0 , quando não é e quando é infinito? Bora descobrir?

Tipos de função de transferência

Antes da gente pular de cabeça no tema dos erros, vamos abrir um parênteses aqui rapidinho para a gente definir algumas coisas bem rápidas.

Uma coisa que pode nos ajuda muito a saber que tipo de erro nosso sistema vai ter, é saber o tipo de função de transferência do nosso processo quanto à quantidade de polos na origem, isto é, a quantidade de termos s no denominador.

  • Uma função de transferência é do tipo 0, quando não tem nenhum polo na origem.
  • G s = 3 s + 1 s + 5

  • Uma função de transferência é do tipo 1, quando tem um polo na origem:
  • G s = s + 1 s 2 s + 3

  • Uma função de transferência é do tipo 2, quando tem dois polos na origem:
  • G s = 1 s 2 2 s + 1

    E assim, sucessivamente. Mole, né?

    Erro em regime permanente

    Beleza, agora vamos começar a calcular nossos erros de fato. Considere o seguinte diagrama de blocos:

    Esse diagrama de blocos é chamado de feedback (ou retroalimentação) unitário. Isso porque a linha de retroalimentação não tem nenhum bloco.

    Para calcular nosso erro E ( s ) , vamos nos utilizar das equações que podemos tirar do diagrama de blocos:

    E s =   R s - C ( s )

    Além disso:

    C s = E s G 1 ( s )

    Substituindo a de baixo na de cima:

    E s = R s - E s G 1 ( s )

    1 + G 1 s E s = R ( s )

    E s = R s 1 + G 1 s

    Essa é a expressão do erro para uma malha de feedback unitário. Como nós queremos encontrar o erro do estado estacionário, devemos usar o teorema do valor final.

    Para usar o teorema do valor final, basta multiplicar a expressão por s e fazer o limite de s → 0 :

    e ∞ = lim s → 0 ⁡ s E s = lim s → 0 ⁡ s R s 1 + G 1 s

    Erros para diferentes tipos de sistema

    Como vimos, para um sistema de feedback unitário, o erro pode ser calculado como:

    e ∞ = lim s → 0 ⁡ s E s = lim s → 0 ⁡ s R s 1 + G 1 s

    Vamos supor que R ( s ) seja uma entrada degrau:

    R s = 1 s

    e ∞ = lim s → 0 ⁡ s R s 1 + G 1 s = lim s → 0 ⁡ 1 1 + G 1 ( s ) = 1 1 + lim s → 0 ⁡ G 1 s

    Ou seja, caso lim s → 0 ⁡ G 1 ( s ) seja o erro do sistema será 0 , caso contrário, o sistema carregará um erro no estado estacionário.

    Repare que lim s → 0 ⁡ G 1 ( s ) só será se ele tiver pelo menos um polo na origem. Então, podemos concluir que para a entrada rampa, o erro será uma constante se a função G 1 s for do tipo 0, e será 0 se a função G 1 ( s ) for do tipo 1 ou superior.

    Agora, imaginemos que a entrada R ( s ) seja do tipo rampa:

    R s = 1 s 2

    e ∞ = lim s → 0 ⁡ s R s 1 + G 1 s = lim s → 0 ⁡ 1 / s 1 + G 1 ( s ) = lim s → 0 ⁡ 1 s + s G 1 s = 1 lim s → 0 ⁡ s G 1 s

    Portanto, o erro no estado estacionário será 0 , se lim s → 0 ⁡ s G 1 ( s ) for , para que isso aconteça, a função G 1 ( s ) tem que ser pelo menos do tipo 2. Se ela for do tipo 1 o erro será uma constante, e se ela for do tipo 0 o erro será infinito.

    De maneira geral:

    Para uma entrada degrau ( R s = 1 / s ), o erro será uma constante caso G 1 ( s ) seja do tipo 0, e será 0 , caso G 1 ( s ) seja do tipo 1 ou superior;

    Para uma entrada rampa ( R s = 1 / s 2 ), o erro será infinito caso G 1 s seja do tipo 0, será uma constante com G 1 ( s ) do tipo 1, e será 0 se G 1 ( s ) for do tipo 2 ou superior;

    Para uma entrada do tipo parábola ( R s = 1 / s 3 ), o erro será infinito caso G 2 ( s ) seja do tipo 1 ou 0, será uma constante com G 2 ( s ) do tipo 2, e será 0 se G 2 s for do tipo 3 ou superior;

    E assim o padrão se repete para entradas de ordem superior.

    Erro causado por perturbações

    Além da entrada, também podemos calcular nosso erro para uma perturbação, olha só:

    Nós temos que:

    E s = R s - C ( s )

    C s = E s G 1 s G 2 s + G 2 s D ( s )

    Substituindo a segunda na primeira e resolvendo para E ( s ) :

    E s = 1 1 + G 1 s G 2 s R s - G 2 s 1 + G 1 s G 2 s D ( s )

    Esse erro pode ser dividido em duas parcelas:

    E s = e R - e D

    Onde e R é o erro referente à entrada R ( s ) que nós já vimos, e e D é o erro referente ao distúrbio:

    e D = - G 2 s 1 + G 1 s G 2 s D ( s )

    Para encontrar o erro do estado estacionário causado pelo distúrbio:

      e D ∞ = - lim s → 0 ⁡ s G 2 s 1 + G 1 s G 2 s D ( s )

    Se assumirmos que D ( s ) é uma perturbação degrau, teremos:

      e D ∞ = - lim s → 0 ⁡ G 2 s 1 + G 1 s G 2 s

    Dividindo o numerador e o denominador por G 2 ( s ) :

    e D ∞ = - lim s → 0 ⁡ 1 1 G 2 s + G 1 s = - 1 lim s → 0 ⁡ 1 G 2 s + lim s → 0 ⁡ G 1 s  

    Podemos perceber que o erro causado pelo distúrbio aumenta com o aumento de G 2 ( s ) e com a diminuição de G 1 ( s ) .

    Rejeição à perturbação

    Para nós, sempre será interessante que o erro causado por distúrbios seja 0 no estado estacionário. Entretanto, nem sempre isso será possível.

    Vamos continuar analisando nosso exemplo anterior.

    A equação para o erro causado por uma perturbação degrau unitário pode ser descrita como:

    e D ∞ = - lim s → 0 ⁡ 1 1 G 2 s + G 1 s = - 1 lim s → 0 ⁡ 1 G 2 s + lim s → 0 ⁡ G 1 s  

    Como concluímos há pouco, quanto maior for o limite para 0 de G 1 ( s ) menor será o erro no estado estacionário, portanto, quando G 1 ( s ) tende a infinito, o erro tende a 0 , então dizemos que o sistema rejeita assintoticamente a perturbação. Para que isso aconteça, a função G 1 ( s ) precisa ser pelo menos do tipo 1.

    Repare que se a função G 2 ( s ) for do tipo 1 ou superior, nada poderá ser concluído sobre o erro. Repare também que a função G 2 ( s ) se encontra após a introdução do distúrbio na malha (à direita), enquanto a função G 1 ( s ) se encontra antes da introdução do distúrbio (à esquerda).

    A conclusão que tiramos disso é que para um sistema rejeitar assintoticamente uma perturbação do tipo degrau, ele precisa ter pelo menos uma função do tipo 1 ou superior à esquerda da introdução da perturbação.

    Caso o distúrbio for do tipo rampa, o erro em estado estacionário poderá ser calculado assim:

    e D ∞ = - lim s → 0 ⁡ 1 / s 1 G 2 s + G 1 s = - 1 lim s → 0 ⁡ s 1 G 2 s + lim s → 0 ⁡ s G 1 s  

    Portanto, para que o lim s → 0 ⁡ s G 1 s   = ∞ , a função G 1 ( s ) precisa ser do tipo 2 ou superior, já para a função G 2 ( s ) , não existe nenhuma conclusão que se possa chegar.

    É possível então perceber uma tendência. Para o sistema rejeitar assintoticamente uma perturbação:

  • É preciso que exista pelo menos uma função do tipo 1 ou superior, à esquerda da perturbação, se ela for do tipo degrau;
  • É preciso que exista pelo menos uma função do tipo 2 ou superior, à esquerda da perturbação, se ela for do tipo rampa;
  • É preciso que exista pelo menos uma função do tipo 3 ou superior, à esquerda da perturbação, se ela for do tipo parábola.

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Exercício Resolvido #1

Norman N. Nise, Engenharia de sistemas de controle, 6ª ed., Rio de Janeiro, 2012, Exemplo 7.1. Adaptado

Determine o erro em regime permanente para o sistema da figura abaixo. Sabendo que:

G s = 5 s 2 + 7 s + 10

E que R ( s ) é um degrau unitário.

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Passo 1

Pelo diagrama temos que:

G s = C s E s

C s = G s E ( s )

E:

E s = R s - C ( s )

Substituindo a primeira na segunda:

E s = R s - G s E ( s )

E s + G s E s = R ( s )

Portanto:

E s = R s 1 + G s

Passo 2

Substituindo o valor de G ( s ) que foi dado no enunciado e a entrada degrau, encontraremos a expressão do erro do sistema:

E s = 1 s 1 + 1 s 2 + 7 s + 10  

Rearranjando:

E s = s 2 + 7 s + 10 s s 2 + 7 s + 11

Passo 3

Para calcular o erro no estado estacionário, devemos aplicar o teorema do valor final na expressão do erro do sistema:

e ∞ = lim s → 0 ⁡ s s 2 + 7 s + 10 s s 2 + 7 s + 11