Erro em regime permanente e sensibilidade à perturbação

Na figura acima, o gráfico representa três curvas: uma entrada degrau, e duas respostas de saída à essa mesma entrada.

Podemos perceber que a quando , a saída 1 tende ao mesmo valor do degrau da entrada, enquanto que a saída 2 fica constante em um valor abaixo do valor da entrada. Sendo assim dizemos que:

Ok, mas como a gente calcula esse erro? E como eu sei quando o erro é , quando não é e quando é infinito? Bora descobrir?

Tipos de função de transferência

Antes da gente pular de cabeça no tema dos erros, vamos abrir um parênteses aqui rapidinho para a gente definir algumas coisas bem rápidas.

Uma coisa que pode nos ajuda muito a saber que tipo de erro nosso sistema vai ter, é saber o tipo de função de transferência do nosso processo quanto à quantidade de polos na origem, isto é, a quantidade de termos no denominador.

• Uma função de transferência é do tipo 0, quando não tem nenhum polo na origem.
• Uma função de transferência é do tipo 1, quando tem um polo na origem:
• Uma função de transferência é do tipo 2, quando tem dois polos na origem:

E assim, sucessivamente. Mole, né?

Erro em regime permanente

Beleza, agora vamos começar a calcular nossos erros de fato. Considere o seguinte diagrama de blocos:



Esse diagrama de blocos é chamado de feedback (ou retroalimentação) unitário. Isso porque a linha de retroalimentação não tem nenhum bloco.

Para calcular nosso erro , vamos nos utilizar das equações que podemos tirar do diagrama de blocos:

Além disso:

Substituindo a de baixo na de cima:

Essa é a expressão do erro para uma malha de feedback unitário. Como nós queremos encontrar o erro do estado estacionário, devemos usar o teorema do valor final.

Para usar o teorema do valor final, basta multiplicar a expressão por e fazer o limite de :

Erros para diferentes tipos de sistema

Como vimos, para um sistema de feedback unitário, o erro pode ser calculado como:

Vamos supor que seja uma entrada degrau:

Ou seja, caso seja o erro do sistema será , caso contrário, o sistema carregará um erro no estado estacionário.

Repare que só será se ele tiver pelo menos um polo na origem. Então, podemos concluir que para a entrada degrau, o erro será uma constante se a função for do tipo 0, e será 0 se a função for do tipo 1 ou superior.

Agora, imaginemos que a entrada seja do tipo rampa:

Portanto, o erro no estado estacionário será , se for , para que isso aconteça, a função tem que ser pelo menos do tipo 2. Se ela for do tipo 1 o erro será uma constante, e se ela for do tipo 0 o erro será infinito.

De maneira geral:

Para uma entrada degrau (), o erro será uma constante caso seja do tipo 0, e será , caso seja do tipo 1 ou superior;

Para uma entrada rampa (), o erro será infinito caso seja do tipo 0, será uma constante com do tipo 1, e será 0 se for do tipo 2 ou superior;

Para uma entrada do tipo parábola (), o erro será infinito caso seja do tipo 1 ou 0, será uma constante com do tipo 2, e será 0 se for do tipo 3 ou superior;

E assim o padrão se repete para entradas de ordem superior.

Erro causado por perturbações

Além da entrada, também podemos calcular nosso erro para uma perturbação, olha só:



Nós temos que:

Substituindo a segunda na primeira e resolvendo para :

Esse erro pode ser dividido em duas parcelas:

Onde é o erro referente à entrada que nós já vimos, e é o erro referente ao distúrbio:

Para encontrar o erro do estado estacionário causado pelo distúrbio:

Se assumirmos que é uma perturbação degrau, teremos:

Dividindo o numerador e o denominador por :

Podemos perceber que o erro causado pelo distúrbio aumenta com o aumento de e com a diminuição de .

Rejeição à perturbação

Para nós, sempre será interessante que o erro causado por distúrbios seja no estado estacionário. Entretanto, nem sempre isso será possível.

Vamos continuar analisando nosso exemplo anterior.

A equação para o erro causado por uma perturbação degrau unitário pode ser descrita como:

Como concluímos há pouco, quanto maior for o limite para de menor será o erro no estado estacionário, portanto, quando tende a infinito, o erro tende a , então dizemos que o sistema rejeita assintoticamente a perturbação. Para que isso aconteça, a função precisa ser pelo menos do tipo 1.

Repare que se a função for do tipo 1 ou superior, nada poderá ser concluído sobre o erro. Repare também que a função se encontra após a introdução do distúrbio na malha (à direita), enquanto a função se encontra antes da introdução do distúrbio (à esquerda).

A conclusão que tiramos disso é que para um sistema rejeitar assintoticamente uma perturbação do tipo degrau, ele precisa ter pelo menos uma função do tipo 1 ou superior à esquerda da introdução da perturbação.

Caso o distúrbio for do tipo rampa, o erro em estado estacionário poderá ser calculado assim:

Portanto, para que o , a função precisa ser do tipo 2 ou superior, já para a função , não existe nenhuma conclusão que se possa chegar.

É possível então perceber uma tendência. Para o sistema rejeitar assintoticamente uma perturbação:

• É preciso que exista pelo menos uma função do tipo 1 ou superior, à esquerda da perturbação, se ela for do tipo degrau;
• É preciso que exista pelo menos uma função do tipo 2 ou superior, à esquerda da perturbação, se ela for do tipo rampa;
• É preciso que exista pelo menos uma função do tipo 3 ou superior, à esquerda da perturbação, se ela for do tipo parábola.