Classificação de Sistemas

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Teoria

O que é controle?

E aí galera, partiu começar a lançar foguetes, criar robôs, controlar a inflação ou impedir que uma doença se propague?

O que que tudo isso tem em comum? Todos esses exemplos são situações que tudo tem que estar dentro do esperado, nada pode fugir muito do ponto onde é esperado que esteja para que não dê um problemão.

Para garantir que as coisas não fujam do controle, existe uma ciência muito bacana chamada “Sistemas de Controle de Processos” e é exatamente isso que vamos começar a aprender e estudar agora. Bora?

Sistema de controle e componentes

O controle de processos acontece através de sistemas de controles de processos. Cada um dos exemplos que eu dei ali em cima é um sistema diferente. Sendo assim um robô tem um sistema de controle para controlar seus movimentos, e um foguete tem um sistema de controle próprio para que ele viaje na inclinação adequada, por exemplo.

Os sistemas de controle são compostos pelos seguintes componentes:

  • Processo (ou planta): é o fenômeno que desejamos controlar. Por exemplo: a temperatura de uma peça, o ângulo da articulação do braço de um robô, a tensão elétrica em um capacitor. Será necessário conhecer muito bem o modelo, isto é, a transcrição matemática do nosso processo para que o controle seja bastante eficaz, mas veremos isso mais para frente.
  • Controlador: É o chefão, ele recebe uma informação, avalia se é o que ele esperava e manda uma resposta para informar o que fazer.
  • Atuador: O braço e perna do sistema, o atuador recebe a resposta do controlador e executa o que ele mandou sobre o sistema a ser controlado. Tá ok, e como que isso ocorre? Os atuadores são os motores elétricos, as bombas, as válvulas entre outros componentes que alteram o estado do sistema a ser controlado.
  • Sensor: Esse é o cara que permite perceber o que está acontecendo com o sistema e então retirarmos uma informação para ser comparada com a resposta desejada.
    • Exemplo de sensores: acelerômetro, termômetro, extensômetro, entre outros ...ômetros

Sinais

Todos esses componentes precisam conversar entre si, ou seja, é necessário por exemplo que o controlador fale para o atuador o que ele tem que fazer. Essa fofoca é passada através dos sinais. Um sistema de controle tradicionalmente possui os seguintes sinais:

  • Sinal de entrada: também chamado de variável de referência, é que o que queremos que aconteça no sistema. Aqui pode ser a posição, velocidade, temperatura, tensão, entre outras variáveis.
  • Sinal de saída: como nem tudo são flores, apesar do sinal de entrada ser o que queremos, o sinal de saída pode ser um resultado diferente do que esperávamos. O sinal de saída é uma grandeza física.
  • Sinal de realimentação: É a comparação entre o sinal de saída e o sinal de entrada
  • Sinal de controle: É o sinal que sai do controlador para o atuador.

A imagem abaixo mostra um tipo de sistema de controle muito usado e que vamos ver muito daqui para frente, o sistema feedback. Essa imagem junta os componentes que vimos ali em cima com os sinais de um sistema de controle em um único diagrama, que chamamos de diagrama de blocos.

Tipos de controle

Existem dois tipos de sistema de controle, o de malha aberta e o de malha fechada.

Um sistema em malha fechada é aquele que o sinal de saída é realimentado ao sistema. Olhe o diagrama da imagem acima, o sinal da saída volta para o início do diagrama, fechando a malha. Um exemplo clássico do dia-a-dia seria quando você vai tomar banho e quer acertar a temperatura da água do chuveiro. Nesse exemplo a temperatura da água do chuveiro é o sinal de saída, e a abertura do registro é o sinal de entrada. Porém, o tanto que você irá abrir o chuveiro depende da temperatura da água, que é o sinal de saída. Portanto, essa é uma malha fechada.

No sistema em malha aberta o sinal de saída não é realimentado ao sistema, e a entrada é completamente independente da saída. Podemos representar isso num diagrama de blocos da seguinte maneira:

Um exemplo é quando você quer esquentar o seu leite no micro-ondas, o sinal de saída é a temperatura do leite e o sinal de entrada o tempo que você coloca no micro-ondas. Repara que a temperatura final do leite não interfere no tempo que você coloca no micro-ondas no início, você só coloca o tempo lá e torce para o seu leite estar quentinho quando o tempo acabar.

Tipos de sistema de controle

Como eu disse ali em cima, os processos dos nossos sistemas de controle precisam ser matematicamente muito bem conhecidos. Será necessário que os nossos sistemas de controle sejam descritos matematicamente. Uma vez que essas funções matemáticas sejam conhecidas, poderemos então classificar os sistemas de controle em relação a alguns pontos:

A) Sistemas contínuos, discretos no tempo

Sistemas contínuos são o nosso foco, eles são os sistemas cujos sinais de entrada e saída são capazes de mudar em qualquer instante de tempo. Ou seja, tem que existir uma saída para qualquer sinal de entrada.

Logo, um sistema com a seguinte dinâmica:

y = 2 cos ⁡ ( π x 2 )

Teria o seguinte comportamento:

Já os sistemas discretos no tempo são sistemas onde os sinais de entrada e de saída variam pontualmente no tempo, sendo, portanto:

B) Sistemas invariantes e variantes no tempo

Um sistema variante no tempo é um sistema que os seus parâmetros variam no tempo, ou seja, não são constantes.

Uma forma de entender é pegarmos a segunda lei de newton:

F r e s → =   d ( M . v → ) d t

Nesse caso, se a massa for constante, ela sai da derivada:

F r e s → =   M . d v → d t

E nesse caso o sistema é invariante no tempo, pois seu parâmetro, no caso a massa, não varia no tempo. Já se a massa não fosse constante, o sistema seria variante com esse formato:

F r e s → =   M . d v → d t + d M d t . v →

O foguete é um exemplo de um sistema variante no tempo, pois sua massa se altera no tempo devido a queima de combustível.

C) Sistemas lineares e não lineares

Um sistema é linear se a(s) saída(s) depende(m) linearmente da(s) entrada(s) e possíveis perturbações, caso contrário ele é não linear.

Para descobrir isso saber se um sistema é linear ou não, ele deve passar em dois testes:

f a x 1 = a f ( x 1 )

f x 1 + x 2 = f x 1 + f ( x 2 )

Vamos aplicar esses testes em duas funções para ver se são lineares ou não.

Primeiramente a função y ( x ) = 3 x . Aplicando o primeiro teste com x = 2 e a = 3 :

y 3 × 2 = 3 × y ( 2 )

y 6 = 3 × y ( 2 )

18 = 3 × 6

18 = 18

Passou no primeiro teste. Vamos para o segundo com x 1 = 2 e x 2 = 3 :

y 2 + 3 = y 2 + y ( 3 )

y 5 = y 2 + y ( 3 )

15 = 6 + 9

15 = 15

`Passou no segundo também, então a função é linear.

Vamos fazer o mesmo procedimento agora para a função y = 5 x + 2

Aplicando o primeiro teste com x = 2 e a = 3 :

y 3 × 2 = 3 × y ( 2 )

y 6 = 3 × y ( 2 )

32 = 3 × 12

32 ≠ 36

O primeiro teste já deu errado, ou seja, y = 5 x + 7 não é linear.

Além dessas três classificações para os sistemas de controle, existem ainda algumas outras, entretanto, para nós nesse momento, essas que eu apresentei são as mais importantes.

Tipos de sistema de controle

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Identificar a variável de entrada e indicar o tipo de controle usado em:

  1. Micro-ondas
  2. Foguete
  3. Máquina de lavar roupa

Passo 1

Quando a questão vem assim sem muito detalhes da até um frio na barriga, mas fiquemos tranquilos que não precisaremos de mais informação.

Nessas questões, primeiro nós fazemos uma pergunta, esse sistema poderá garantir uma resposta? Se sim, é um sistema de controle de malha fechada, caso a resposta seja não, o sistema será de controle de malha aberta.

Depois, analisamos o que será usado como referência para poder controlar o sistema.

Vamos ver agora como isso se aplica.

Passo 2

a) Em um micro-ondas, quando vamos usar, nós podemos mexer na potência e no tempo. Contudo, para controle do sistema é utilizado o tempo, logo ele é nossa variável de entrada.

Aqui vai uma dica!!! Normalmente, quando a variável de entrada for o tempo, o sistema será de malha aberta, pois não será possível garantir que a resposta do sistema seja a desejada.

Passo 3

b) Um foguete é um foguete, rs, várias variáveis são utilizadas para que ele realize seu objetivo, sistemas complexos utilizam controle de malha fechada, pois eles precisam garantir a resposta.

Algumas variáveis de entrada no caso do foguete seriam: Aceleração, posição, quantidade de combustível, etc.

Passo 4

c) Caso da máquina de lavar é semelhante ao do micro-ondas, nela colocamos o sabão em pó, amaciante e escolhemos um modo de lavagem, passado algum tempo pré-determinado, vamos lá e retiramos a roupa, ou seja, o resultado do processo, que é a roupa após o processo de lavagem, não interfere nas entradas do mesmo.

Não há como garantir que a roupa estará limpa como desejado, logo é um sistema de malha aberta.

Resposta

  1. Malha aberta
  2. Malha fechada
  3. Malha aberta

Exercício Resolvido #2

Classificar os componentes do sistema de controle de malha fechada da velocidade de um carro. Considere os seguintes componentes: passageiro, acelerador, velocidade do veículo, velocímetro.

Passo 1

Então galera, nesse tipo de questão, realizamos uma análise do macro para o micro. E nós fazemos a seguinte pergunta nessa ordem:

O que? Quem? Como? Como?

Primeiro perguntamos o que queremos controlar, depois quem irá promover esse controle.

Encontrado esses dois componentes, partimos para o Como vamos alterar esse sistema (atuador) e em seguida para o Como vamos saber o que está acontecendo no sistema (sensor).

Com essas perguntas respondidas, conseguimos definir o nosso controlador.

Passo 2

Bora lá então, o que queremos controlar? Quando respondermos essa pergunta, teremos a variável de saída do sistema de controle.

Nesse caso, o objetivo principal é que a velocidade do carro seja mantida na faixa desejada, portanto é ela que devemos controlar e é ela que é a variável de saída do sistema.

Mas quem vai promover esse controle? Ora, quem controla a velocidade do carro é o motorista né. Ele que pisa mais ou menos no acelerador, portanto, o motorista é o controlador.

Passo 3

Mas agora como o passageiro controla a velocidade? Pisando mais ou menos no acelerador, como eu disse ali em cima, logo, o acelerador é o nosso atuador.

E como o motorista sabe se ele deve pisar mais ou menos no acelerador? Olhando para o velocímetro e vendo a velocidade atual do carro. Sendo assim, o velocímetro é o nosso sensor.

Resposta

  • Controlador: Passageiro
  • Atuador: Acelerador
  • Sensor: Velocímetro
  • Variável de saída: Velocidade do carro

Exercício Resolvido #3

A altitude de uma aeronave varia em rolagem, arfagem e guinagem, conforme definido na figura abaixo. Desenhe um diagrama de blocos funcional para um sistema em malha fechada que estabilize a rolagem da seguinte forma: o sistema mede o ângulo de rolagem real com um giroscópio e o compara o ângulo de rolagem real com o ângulo desejado. Os ailerons respondem ao erro do ângulo de rolagem efetuando um deslocamento angular. A aeronave responde a este deslocamento angular produzindo uma velocidade angular de rolagem.

Passo 1

Textão bonito, contudo, o modo de resolver é simples, a mesma lógica desenvolvida nas questões anteriores.

O enunciado já nos diz que se trata de um sistema de controle de malha fechada, que tem uma aparência desse tipo:

Realizamos uma análise do macro para o micro. E fazemos as seguintes perguntas nessa ordem:

Quem? O que? Como? Como?

Relembrando:

  1. Quem é o sistema a ser controlado?
  2. O que queremos controlar nele (variável de referência)?
  3. Como vamos alterar esse sistema (atuador)?
  4. Como vamos saber o que está acontecendo no sistema (sensor)?

Com as respostas, conseguimos definir o nosso diagrama de blocos.

Passo 2

Vamos então responder às perguntas!

  1. O enunciando me diz que o sistema a ser controlado é o avião, o que concorda com nossa lógica de ir do macro para o micro.
  2. Nos informa que o que se quer controlar é o ângulo de rolagem.
  3. O que atua para modificar esse ângulo pela descrição do enunciado são os ailerons
  4. O ângulo de rolagem real é medido através de um giroscópio, logo esse é o nosso sensor.

Com essas informações, conseguimos montar nosso diagrama de bloco.

Passo 3

Colocando cada informação em seu devido lugar resulta nisso:

Com tudo onde deveria, ainda fica sobrando informação no enunciado relacionado ao erro do ângulo de rolagem.

Esse erro é justamente a comparação entre o ângulo de rolagem real e o desejado. É em cima desse erro que o controlador vai enviar um sinal para os Ailerons alterarem a dinâmica da aeronave.

Para ficar completo então:

Resposta

Exercício Resolvido #4

Verificar se cada uma das funções abaixo são lineares:

a) y ( t ) = x ( t - a ) ; a > 0

a) y t = μ - 1 t ; μ - 1 t   é   a   f u n ç ã o   d e g r a u   u n i t á r i o

c)   x ¨ + a 1 x ˙ + x = u ( t )

Passo 1

E aí galera, tudo tranquilo?

Quando a questão pede para verificar uma função é linear, precisamos aplicar ou o princípio da superposição e da homogeneidade.

Que nada mais é que:

f α x 1 + β x 2 = α . f x 1 + β . ( x 2 )

Agora só aplicar em cada uma das funções.

Passo 2

a) Para verificarmos se y ( t ) = x ( t - a ) ; a > 0 é linear, verificamos se ela satisfaz a seguinte propriedade:

f α x 1 + β x 2 = α . f x 1 + β . ( x 2 )

y α t 1 + β t 2 = x α t 1 + β t 2 - a = α x t 1 + β x t 2 - x ( a )

α y t 1 ) + β y ( t 2 = α x t 1 - a + β x t 2 - a = α x t 1 + β x t 2 - β α x ( a )

Ou seja,

y α t 1 + β t 2   ≠ α y α t 1 ) + β y ( β t 2

Logo, y ( t ) = x ( t - a ) ;   a > 0   , não é linear.

Passo 3

b) Sendo u - 1 ( t ) = 1 ,     t ≥ 0 0 ,     t < 0 ,para verificarmos se y t = μ - 1 t é linear, conferimos se ela satisfaz a seguinte propriedade:

f α x 1 + β x 2 = α . f x 1 + β . ( x 2 )

y α t 1 + β t 2 = u - 1 α t 1 + β t 2

y α t 1 ) + y ( β t 2 = u - 1 α t 1 + u - 1 β t 2  

Em casos confusos como esse, uma boa saída é chutar alguns valores e testar se a propriedade não é satisfeita para algum deles.

Considerando α = 1 e β = 1 e t 1 , t 2 > 0 .

y 1 t 1 + 1 t 2 = u - 1 1 t 1 + 1 t 2 = 1

1 y t 1 ) + 1 y ( t 2 = 1 u - 1 t 1 + 1 u - 1 t 2 = 2

Logo,

y α t 1 + β t 2   ≠ α y t 1 ) + β y ( t 2

Portanto, y t = μ - 1 t , não é linear.

Passo 4

c) Verificando a propriedade de superposição e homogeneidade.

f α x 1 + β x 2 = α . f x 1 + β . ( x 2 )

x ¨ ( α t 1 + β t 2 ) + a 1 x ˙ ( α t 1 + β t 2 ) + x ( α t 1 + β t 2 ) = u ( α t 1 + β t 2 )

Como a 1 é uma constante que não dependente de t , e os termos x ¨ ,   x ˙ ,   x são lineares, pois a derivada é um operador linear.

A equação de cima pode ser aberta como:

x ¨ ( α t 1 ) + x ¨ ( β t 2 ) + a 1 x ˙ ( α t 1 ) + a 1 x ˙ ( β t 2 ) + x ( α t 1 ) + x ( β t 2 ) = u ( α t 1 ) + u ( β t 2 )

Que é exatamente:

α x ¨ t 1 + β x ¨ t 2 + a 1 α x ˙ ( t 1 ) + a 1 β x ˙ ( t 2 ) + α x ( t 1 ) + β x ( t 2 ) = α u ( t 1 ) + β u ( t 2 )

Logo, a propriedade da superposição e homogeneidade foi satisfeita e x ¨ + a 1 x ˙ + x = u t é linear.

Resposta

  1. Não linear
  2. Não linear
  3. Linear