Transformada de Laplace e Função de Transferência
Teoria
Transformada de Laplace
Seria bom aprender ferramentas para facilitar a resolução de equações diferenciais né?
Em controle clássico, utilizamos com frequência uma dessas ferramentas, a Transformada de Laplace. Ela consegue transformar equações diferenciais desse tipo:
Com soluções difíceis e podendo ter essa cara:
Em uma divisão de polinômios, mais fácil de resolver:
Ok, e como isso corre?
Através desse teorema que relaciona uma função no domínio da frequência com outra no domínio do tempo.
Assim ela não parece que facilita nossa vida, rs.
Na prática, por exemplo, verificamos o seguinte ao realizarmos uma Transformada de Laplace de uma função exponencial.
Que no domínio da frequência é:
Ou seja, uma divisão de polinômios com um polinômio de grau zero em cima e um de grau um embaixo. Essa agora vai ser nossa realidade, trocar funções exponenciais e periódicas por uma função com divisão de polinômios.
Mas relaxe, nem sempre vamos precisar usar a definição para encontrar uma transformada de Laplace, muitas vezes vamos poder usar uma tabela como essa aqui:
Propriedades Transformada de Laplace
Para que essa mágica ocorra, é importante estarmos familiarizados com as propriedades das Transformadas de Laplace. As principais estão abaixo:
Para começarmos a nos entrosar com as propriedades, vamos utilizar o sistema de segunda ordem do início da teoria com e e com uma força externa
Passando do domínio do tempo para frequência e com isso utilizando as propriedades 4, 3 e 1
Nesse caso considerando condições iniciais nulas, .
Colocando o em evidência.
Passando o polinômio para o outro lado da igualdade.
Chegamos assim, na resposta do sistema no domínio da frequência.
O passo a passo para vitória quando utilizar a transformada de Laplace é:
- Obter as equações diferenciais linearizadas.
- Obter a transformada de Laplace das equações diferenciais.
- Resolver a equação algébrica resultante para a transformada de variável de interesse.
Transformada Inversa de Laplace
Como nosso mundo ocorre no domínio do tempo, a transformada de Laplace nos facilita resolver as equações diferenciais, mas depois de conseguirmos a solução, muitas vezes precisamos expressar a solução no domínio do tempo.
Para que isso ocorra, utilizamos a transformada inversa de Laplace:
Esse susto nós já tomamos hoje, kkkkkk.
Para utilizar a transformada inversa de Laplace, o que vamos fazer é utilizar o velho conhecido método das frações parciais na função e depois olharmos em tabelas de transformada de Laplace, qual a equivalente dos termos em destaque no domínio do tempo.
Sendo:
Ao realizarmos o método das frações parciais, resulta:
Em que e são conhecidos como resíduos. Para calcular eles, fazemos o seguinte:
e
Em que é a raiz do denominador do primeiro termo e é a raiz do denominador do segundo termo e o polinômio do numerador de e o polinômio do denominador de .
Atribuindo os respectivos valores para e .
Com os valores de e e substituindo em .
Olhando em qualquer tabela de pares de Transformada de Laplace, verificamos que:
Então,
Como as propriedades da Transformada de Laplace funcionam de forma semelhante para a Transformada Inversa de Laplace.
Com isso, conseguimos nosso resultado em função do tempo.
Função de Transferência
Um sistema com a seguinte equação do movimento:
Pode ser representado no domínio da frequência como:
A função de transferência de um sistema linear, é a relação entre a transformada de Laplace do sinal de saída pela transformada de Laplace da variável de entrada, com todas as condições iniciais nulas.
Ela é uma forma de representar a dinâmica do sistema. E só pode ser definida em um sistema linear e invariante no tempo. Lembre-se dessa condição, costuma cair com frequência em provas.
Outro detalhe importante sobre a função de transferência é que a ordem do polinômio do numerador deve ser menor ou igual ao do polinômio do denominador.
Agora é praticar!
Transformada Inversa de Laplace
Função de Transferência
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Smith & Corripio, Princípios e Prática do Controle Automático de Processos, 3ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012, Exemplo 2-1.3
Obtenha a transformada de Laplace da seguinte função:
Passo 1
Para resolver essa questão, vamos usar e abusar das propriedades das transformadas de Laplace, mas antes disso, vamos fazer uma mudança de variáveis.
Vamos falar que:
Sendo assim, a nossa função será:
Então, primeiro vamos achar a transformada de e depois achamos a transformada de .
Passo 2
Bora achar a transformada de então:
Usando a propriedade da linearidade, podemos dizer que:
A primeira parcela da transformada, é a função degrau, que tem transformada conhecida e igual a :
Para a segunda parcela, vamos usar essa propriedade aqui:
Como a transformada de é , e nesse caso a constante é , teremos:
Rearranjando:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a transformada de , para isso, vamos usar a seguinte propriedade:
Como :
Passo 4
E como definimos lá no início que:
Portanto:
Resposta
Exercício Resolvido #2
USP – P1.2016 – Q.2 - Prof. Hélio Mitio Morishita
Obter o valor de se houver, para as funções abaixo, justificando a resposta. Em todos os casos e impor as condições necessárias sobre o parâmetro da equação quando for o caso.
a)
b)
c)
Passo 1
Falou de valor de , já podemos abrir o sorriso. Pois poderemos utilizar o TVF.
Contudo, devemos lembrar que para aplicar o Teorema do Valor Final (TVF) e o exista, precisamos verificar duas condições:
1) As raízes do denominador do , devem ter parte real negativa.
2) O sinal de excitação deve ser limitado.
Agora vamos lá verificar essas condições.
Passo 2
a) Aplicando o TVF:
Contudo ao verificar as condições para que o exista, verificamos as raízes do polinômio são:
Como existe raízes do polinômio do denominador com raízes positivas, o não existe.
Passo 3
b) Aplicando o TVF:
Verificando as condições para que o exista:
1) A raiz do polinômio é , logo sendo parte real negativa, essa condição está satisfeita.
2)O sinal de excitação nesse contexto é o termo:
Que está multiplicado ao termo:
Como é o sinal de excitação degrau unitário, um sinal limitado, essa condição também está satisfeita.
Logo,
Passo 4
c) Aplicando o TVF:
Verificando as condições para que o exista:
1) A raiz do polinômio é , , como não tem parte real negativa, esta condição não está satisfeita.
2)O sinal de excitação nesse contexto é o termo:
Que está multiplicado ao termo:
Como é o sinal de excitação harmônico, um sinal não limitado, essa condição também não está satisfeita.
Então, o não existe.
Resposta
não existe.
b) .
c) não existe.
Exercício Resolvido #3
Elaboração própria
Ache a inversa de Laplace da seguinte equação:
Passo 1
Falaaa... beleza???? Vamos fazer essa inversa aqui juntos?? Então bora...
A primeira coisa que vamos fazer é dividir em frações parciais, que vai ficar assim: (repara bem quando o polinômio embaixo é de segundo grau, em cima vai ter um do primeiro grau...)
E vamos usar a tabela de transformadas:
E vamos fazer uma pré seleção das que parecem mais com as do nosso problema:
Passo 2
Vamos achar os , então:
E ficamos com o sisteminha: (igualando o que ta na frente do de um lado e do outro, do e os que não têm )
E achamos:
Então ficamos com:
A gente vai precisar achar a inversa de e de .
Pra é só ver:
Então:
Passo 3
E pra outra vamos precisar fazer algumas manipulaçõezinhas...
Primeiro a gente quer deixar parecido com:
(a gente sempre começa com o “s”, que a do cosseno, porque depois é só ir adicinando alguma coisa e vai dar a do seno)
A gente pode reescrever assim, oh:
E dá pra dividir em duas, ainda:
Passo 4
Vamos pegar a primeira parcela da soma:
Repara que temos o caso e , então vamos ter:
Já pra segunda parcela:
Agora vamos relacionar com o seno:
Entãããooo agora é só somar tudo (ou diminuir porque tem um sinal de menos... só ter atenção):
E acabamos... dá um trabalhinho, mas a gente chega, viu?