Teoria

Introdução

Tudo que estudamos de controle até aqui, nós estudamos sob a ótica do controle analógico. O controle analógico funciona sempre com sistemas contínuos no tempo.

Se desejarmos usar um controlador digital na nossa planta, precisamos converter o sinal analógico para um sinal digital fazendo uso de um conversor A/D, que é formado por um amostrador e por um retentor.

Dessa forma, precisamos, por exemplo fazer com que um sinal seja transformado de contínuo para discreto. Esse procedimento é chamado de amostragem.

Para realizar a amostragem, utiliza-se um equipamento que chamamos de amostrador, no diagrama de blocos esse instrumento será representado da seguinte forma:

O amostrador funciona da seguinte forma: a chave fechará a intervalos constantes de tempo ( T ). Quando a chave fecha, o sinal naquele momento da função é transmitido para o restante do sistema, como se o amostrador tirasse uma foto do sinal a intervalo regulares de tempo. Quando a chave está aberta, esse sinal é 0 . Dessa forma, é possível fazer com que um sinal contínuo seja discretizado.

Para facilitar o nosso lado, vamos sempre considerar que o amostrador que estamos usando é ideal. Isso quer dizer que o nosso amostrador fica fechado por um tempo muito curto, um infinitésimo de segundo. Dessa forma, é como se quando a chave do amostrador fechasse, ele “tirasse uma foto” do sinal contínuo naquele momento. Deu pra pegar a ideia?

Vamos ver agora, matematicamente, como a amostragem de uma função contínua é feita, mas antes, precisamos lembrar de uma funçãozinha específica muito importante.

Função impulso

Provavelmente em algum momento da sua sofrida vida na faculdade você já viu em algum lugar a função impulso, também conhecida como Delta de Dirac. Se você não lembra (sem julgamentos, porque eu também não lembrava), vou refrescar a sua memória. A função Delta de Dirac, é definida da seguinte forma:

δ t = 0             t ≠ 0 ∞         t = 0  

Ou seja, a função tem valor nulo para todos os valores de t menos para 0 onde ela assume o valor infinito.

Vamos imaginar uma função parecida, só que em vez de , em 0 a função assumirá um valor unitário: δ t = 0             t ≠ 0 1         t = 0

Dessa forma, ela teria a seguinte cara:

Vamos continuar brincando com esse conceito, se a gente deslocar esse impulso um pouco para a direita, teremos a seguinte função:

f t = 0             t ≠ 0 1         t = t 0

f t = δ ( t - t 0 )

Lembra disso de cálculo? Quando a gente desloca uma função para a direita, nós subtraímos a quantidade deslocada do argumento da função.

Por último, vamos imaginar que a gente tem VÁRIOS impulsos afastados a uma quantidade de tempo contínua um do outro:

Se a gente fosse escrever essa função matematicamente, precisaríamos de um somatório, já que nela temos infinitas funções impulso juntas, sendo assim:

f k T = ∑ k = - ∞ ∞ δ t - k T

Repara que quando k = 0 , teremos a função impulso em 0 , quando k = 1 teremos o impulso em T , e assim por diante.

Essa última função, é chamada de trem de impulsos (hehe, esse nome é engraçado). Conseguiu entender como chegamos até ela? Vamos guardar essas conclusões na nossa manga rapidinho e daqui a pouco voltamos nela.

Amostragem

Beleza, vamos voltar agora para o nosso objetivo principal, que é fazer a amostragem de um sistema contínuo.

Vamos imaginar um sinal de entrada com a seguinte cara:

O que aconteceria se a gente multiplicasse essa função x ( t ) , pela função impulso?

δ t = 0             t ≠ 0 1         t = 0

Pensa comigo, a função impulso acima é 0 para qualquer valor de t , menos em 0 onde é 1 . Sendo assim, o produto das duas funções seria:

δ t x t = x ( 0 )

Da mesma forma, se eu multiplicasse a função x ( t ) pela função δ t - t 0 , eu obteria:

δ t - t 0 x t = x ( t 0 )

Ou seja, para conseguir o valor de uma função em um ponto específico, eu preciso multiplicar a minha função em tempo contínuo pelo impulso deslocado no tempo que eu preciso.

Se eu precisar de uma sequência de valores, ou, uma amostragem, basta que eu multiplique a minha função em tempo contínuo pela função trem de impulso. Como a função trem de impulso são vários impulsos afastados por um período ( T ), o resultado dessa multiplicação, será a discretização da função x ( t ) , que chamaremos de x * ( t ) :

x * t = ∑ k = - ∞ ∞ x k T δ t - k T

Ou seja, a função discretizada é a soma dos produtos entre a função x ( t ) no ponto k T e a função impulso deslocado para aquele ponto.

Retentor

Lá em cima, eu disse que para um controle digital funcionar é preciso converter um sinal analógico para um digital.

Quem faz essa conversão são os conversores A/D. Esses conversores são compostos geralmente por duas partes, o amostrador e o retentor (também chamado de hold).

A função do amostrador, como já vimos, é fazer a discretização do sinal. Já o retentor, por sua vez, fará com que o sinal discretizado pelo amostrador seja mantido durante todo o período, T , até que um novo sinal seja enviado quando a chave do amostrador fechar novamente.

Depois que o sinal passa pelo retentor, dizemos que ele fica quantizado. Esse sinal discretizado e quantizado é o sinal que chamamos que chamamos de sinal digital.

A equação do retentor no domínio da frequência é dada abaixo:

X k s X * s = 1 - e - T s s

O que essa função faz basicamente é segurar o valor que foi “fotografado” pelo amostrador por um tempo T até que outra foto seja tirada e outro valor tenha que ser retido por um tempo T .

Teorema da amostragem

Como acabamos de ver, para ser discretizado um sinal precisa ser “multiplicado” por um trem de impulso que tem um certo período de amostragem T .

Esse período de amostragem também pode ser escrito na forma de frequência de amostragem, f s :

f s = 1 T

Para que a amostragem seja feita de maneira fiel ao sinal contínuo é necessário que a frequência de amostragem seja pelo menos duas vezes maior que a maior frequência presente no sinal contínuo no tempo.

f s > 2 f M a x

Caso a frequência da amostragem seja menor que o dobro da frequência máxima contida no sinal contínuo, informações sobre o sinal serão perdidas e a reconstrução para o tempo contínuo não poderá ser feita com fidelidade e ocorre uma distorção no sinal chamado de efeito de aliasing.

Esse teorema é chamado de Teorema de Nyquist-Shannon ou simplesmente de Teorema da Abaixo, está representado um exemplo de uma amostragem que foi feita a uma frequência menor o dobro da frequência do sinal original.

Repare que o sinal reconstruído é muito diferente do sinal original, essa distorção é o que chamamos de aliasing.

Se conhecemos a frequência máxima contida em um sinal, teremos a frequência mínima de amostragem para que não ocorra aliasing essa frequência é chamada de taxa de nyquist.

Caso a gente conheça a taxa de amostragem, conseguiremos identificar a frequência máxima que um sinal deve ter para que não ocorra aliasing, essa frequência é a frequência de nyquist.

Amostragem

Retentor

Teorema da amostragem

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Deseja-se montar um sistema de controle para controlar a temperatura de saída de uma corrente que sai de um aquecedor. Esse aquecedor é um trocador de calor que usa vapor de água para aquecer a corrente fria. Para efetuar esse controle serão usador um transmissor/sensor de temperatura e uma válvula que irá controlar a vazão de vapor de água que entra no trocador. Deseja-se realizar esse controle utilizando um controlador digital. Explique e represente no diagarama de blocos quais modificações deverão ser feitas na malha de controle para comportar o controlador digital. Explique como funciona as estruturas introduzidas para realizar a adaptação.

Passo 1

Em vez de ir direto ao ponto, vamos primeiro pensar como seria essa malha de controle caso o controlador fosse um analógico clássico.

Esse é aquele esquema clássico de controle feedback né. A temperatura de saída do trocador de calor é medida, no diagrama ela foi representada com y ( t ) , essa temperatura é então comparada com um valor de referência, r ( t ) , e gera o erro, e ( t ) . O controlador Recebe esse erro e decide o que fazer, mandando um sinal para a válvula que altera a variável controlada alterando o processo.

Passo 2

Entretanto, o nosso controlador que iremos usar é digital. Se você olhar o nosso diagrama de blocos, o controlador tá recebendo um sinal contínuo no tempo, ou seja, analógico. Sendo assim, precisaremos colocar uma estrutura de conversão de sinal no nosso diagrama de blocos para que o controlador digital possa funcionar.

Entretanto, apenas o controlador é digital, todos os outros instrumentos são analógicos, então após o controlador será preciso reconverter o sinal para o sinal analógico.

Vamos representar essas estruturas no diagrama de blocos então.

Sendo assim, acrescentamos um conversor analógico-digital antes do controlador e um conversor digital –analógico para voltar o sinal para o modo analógico após o controlador.

Passo 3

O conversor analógico-digital é formado por duas estruturas, uma que faz a amostragem do sinal, que é chamada de amostrador, e outra que quantiza esse sinal amostrado, ou seja, dá uma “segurada” no sinal até que uma nova amostra seja medida, que se chama retentor.

Sendo asism, o bloco do conversor A/D no diagrama de blocos poderia ser substituído por dois elementos:

A chavezinha do amostrador fecha em intervalos periódicos de tempo gerando o sinal amostrado enquanto o retentor tem segura o valor amostrado até que a chaveinha feche de novo.

Resposta

Exercício Resolvido #2

Dado o sinal abaixo:

Represente esse sinal caso sofra uma amostragem com:

  1. T = 0,5
  2. T = 0,25
  3. T = 0,125
  4. O que pode-se concluir com os três resultados?

Passo 1

Caso o período seja iual a 0,5 nós teremos um ponto da função discreta a cada 0,5 unidades de tempo. Para o exemplo da questão, isso seria:

Passo 2

Agora vamos ver o que acontece quando reduzimos o período para 0,25 unidade de tempo:

Passo 3

E agora com o período de 0,125 :

Passo 4

Com esse exemplo pode-se notar que quanto menor for o período de amostragem, mais o sinal discreto será parecido com o sinal contínuo

No priemeior caso, onde o período era 0,5 todos os pontos tinham a mesma magnitude, dando a falsa impressão de que o sinal se tratava de uma constante.

Conforme fomos diminuindo o sinal, foi ficando cada vez mais fácil de reconhecer a função senoidal que de fato respresenta melhor o sinal contínuo.

Resposta

  1. Quanto menor o período de amostragem, melhor definido será o sinal discreto,

Exercício Resolvido #3

Um dado sinal é composto por três tons senoidais de frequências 200   H z , 3 50   H z e 420   H z . Determine a taxa de Nyquist.

Passo 1

A taxa de Nyquist é a menor taxa de amostragem possível para que não ocorra aliasing. Essa taxa é igual ao dobro da frequência máxima contida em um sinal:

f s = 2 f M a x

Qunado isso acontece, nenhuma informação do sinal é perdida e ele poderá ser reconstituído posteriormente.

Passo 2

Sendo assim, para identificar a taxa de Nyquist devemos nos guiar pela maior frequência contida no sinal, que neste caso é 420   H z . Portanto a taxa de Nyquist será:

f s = 2 × 420 = 840   H z

Ou seja, precisaremos de uma taxa de amostragem de no mínimo 840   H z para que não ocorra aliasing.

Resposta

f s = 840   H z

Exercício Resolvido #4

Um amostrador funciona com uma taxa de amostragem de 1 , 2   k H z . Dados os sinais abaixo, identifique aqueles que apresentarão aliasing quando amostrados por esse equipamento:

  1. 200   H z
  2. 500   H z
  3. 800   H z

Passo 1

Vamos descobrir qual a frequência de Nyquist para esse amostrador. A frequência de Nyquist é metade da taxa de amostragem do amostrador. Portanto:

f N = f s 2 = 1200 2 = 600   H z

Passo 2

A frequência de Nyquist representa a maior frequência que um sinal deve ter para que não ocorra aliasing.

Sendo assim, nos itens a) e b) a frequência do sinal é menor que a frequência de Nyquist, portanto, o sinal não apresentará aliasing. Diferentemente do item c) onde a frequência é maior que a frequência de Nyquist e ocorrerá aliasing.

Resposta

  1. Não ocorrerá aliasing.
  2. Não ocorrerá aliasing.
  3. Ocorrerá aliasing.

Exercício Resolvido #5

Dado o sinal abaixo:

x t = sen ⁡ 50 π t

Calcule a taxa de Nyquist.

Passo 1

Para calcular a taxa de Nyquist, precisamos saber a frequência do sinal. Para a função seno, a frequência é dada pelo argumento da função. Ou seja:

x t = s e n ⁡ ( ω t )

A frequência da função, em r a d / s e g é igual a ω .

Para o nosso exercício teremos:

ω = 50 π   r a d / s e g

Passo 2

Como estamos em busca da taxa de Nyquist, essa medida é mais comumente dada em H z (amostras por segundo). Para fazer a mudança de unidade usaremos:

f = ω 2 π

Onde f é a frequência em H z e ω é a frequência em r a d / s e g .

Vamos então encontrar a frequência do nosso sinal em H z :

f = 50 π 2 π = 25   H z

Passo 3

Agora só falta encontrar a taxa de Nyquist.

A taxa de Nyquist é igual ao dobro da frequência máxima de um sinal. Como aqui só temos uma frequência, a taxa de Nyquist será:

f s = 2 × 25 = 50   H z

Resposta

f s = 50   H z

Exercício Resolvido #6

Dado o sinal abaixo, calcule a taxa de Nyquist:

x t = 3 + 80 sen ⁡ ( 100 π t ) - 40 cos ⁡ ( 150 π t )

Passo 1

Para calcular a taxa de Nyquist devemos encontrar a maior frequência presente em um sinal. Como temos a soma de três parcelas, basta encontrar aquela que tem a maior frequência para determinar a taxa de Nyquist.

Como 3 é uma constante, sua frequência é 0 . Para as duas funções trigonométricas, basta ver aquela que tem o maior argumento que é a parcela 40 cos ⁡ ( 200 π t ) .

Lembrando que a constante que multiplica as funções não interfere na frequência.

Passo 2

Vamos então encontrar a frequência de 40 c o s ⁡ ( 150 π x ) para conseguir determinar a taxa de Nyquist. Para a função cosseno, assim como para a função seno, a frequência é dada pelo argumento da função. Ou seja:

x t = c o s ⁡ ( ω t )

A frequência da função, em r a d / s e g é igual a ω .

Para essa parcela teremos então:

ω = 150 π   r a d / s e g

Passo 3

Como estamos em busca da taxa de Nyquist, essa medida é mais comumente dada em H z (amostras por segundo). Para fazer a mudança de unidade usaremos:

f = ω 2 π

Onde f é a frequência em H z e ω é a frequência em r a d / s e g .

Vamos então encontrar a frequência máxima do nosso sinal em H z :

f = 150 π 2 π = 75 H z

Passo 4

Agora só falta encontrar a taxa de Nyquist.

A taxa de Nyquist é igual ao dobro da frequência máxima de um sinal. Como a frequência máxima foi a que encontramos anteriormente, teremos:

f s = 2 × 75 = 150   H z

Resposta

f s = 150   H z

Exercício Resolvido #7

Calcule a taxa de Nyquist para os sinais abaixo:

  1. x t = cos ⁡ ( 100 π t )
  2. x t = 2 cos ⁡ ( 100 π t )
  3. x t = co s 2 ⁡ ( 100 π t )

Passo 1

Para calcular a taxa de Nyquist, precisamos saber a frequência do sinal. Para a função cosseno, assim como para a função seno, a frequência é dada pelo argumento da função. Ou seja:

x t = c o s ⁡ ( ω t )

A frequência da função, em r a d / s e g é igual a ω .

Para a letra a) teremos então:

ω = 100 π   r a d / s e g

Passo 2

Como estamos em busca da taxa de Nyquist, essa medida é mais comumente dada em H z (amostras por segundo). Para fazer a mudança de unidade usaremos:

f = ω 2 π

Onde f é a frequência em H z e ω é a frequência em r a d / s e g .

Vamos então encontrar a frequência do nosso sinal em H z :

f = 100 π 2 π = 50 H z

Passo 3

Agora só falta encontrar a taxa de Nyquist.

A taxa de Nyquist é igual ao dobro da frequência máxima de um sinal. Como aqui só temos uma frequência, a taxa de Nyquist para a letra a) será:

f s = 2 × 50 = 100   H z

Passo 4

Para o item b), podemos perceber que se trata da mesma função, porém multiplicado por uma constante.

A função cosseno quando multiplicada por uma constante não terá sua frequência alterada, apenas a sua magnitude. Os gráficos abaixo demonstram isso:

Os gráficos mostram os sinais da letra a) e b) respectivamente. Perceba que devido à multiplicação pela constante, a amplitude do sinal (tamanho dos picos e vales) dobrou, mas a frequência (quantidade de ciclos) num mesmo intervalo se manteve a mesma.

Portanto, a frequência do sinal não mudou e portanto a taxa de Nyquist para esse sinal também não mudará:

f s = 100   H z

Passo 5

Para a letra c) teremos novamente o mesmo sinal, porém dessa vez, elevado ao quadrado.

Quando elevamos a função cosseno ao quadrado, toda a parte negativa dessa função será refletida para o eixo positivo:

Podemos perceber que quando comparamos o gráfico do sinal do item c) com o do item a) a frequência foi dobrada (dobrou a quantidade de ciclos), portantoa taxa de Nyquist também será dobrada:

f s = 2 × 100 = 200   H z

Resposta

  1. f s = 100   H z
  2. f s = 100   H z
  3. f s = 200   H z

Exercício Resolvido #8

Dado o sinal abaixo, qual seria a frequência do sinal discreto caso o sinal seja amostrado a uma taxa de 125   H z .

x t = sen ⁡ ( 200 π t )

Passo 1

Para resolver essa questão, vamos usar o gráfico do sinal para facilitar a visualização:

Perceba que o tempo que o sinal demora para completar um ciclo completo é de 0,01 , fazendo com que a frequência seja de 100   H z :

f = 1 0,01 = 100   H z

Esse valor é condizente com o valor que encontraríamos pela expressão do sina pois:

ω = 200 π   r a d / s e g

f = ω 2 π = 100   H z

Passo 2

O sinal será amostrado a uma taxa de 125   H z . O que quer dizer que a cada segundo, 125 amostras serão colhidas.

Vamos determinar quanto tempo leva para colher cada amostra:

f = a m o s t r a s t e m p o

125 = 1 Δ t

Δ t = 1 125 = 0,008

Ou seja, a cada 0,008 segundos, uma amostra é feita.

Passo 3

Vamos fazer a amostragem usando o gráfico da função acima e uma amostra a cada 0,008 segundos:

Passo 4

Repara que o ciclo começa em 0,0 só se conclui em 0,0 8 . Podemos calcular a frequência do sinal amostrado então:

f = c i c l o s t e m p o

f = 1 0,08 = 12 , 5   H z

Que é uma frequência oito vezes menor do que a frequência do sinal contínuo. Isso aconteceu porque a amostragem foi feita numa taxa menor que a taxa de Nyquist. Para esse caso a taxa de Nyquist seria:

f s = 2 × 100 = 200   H z

Ou seja, qualquer amostragem que fosse feita a uma taxa superior a 200   H z a frequência do sinal amostrado seria igual à do sinal contínuo. Como a taxa de amostragem foi menor, a frequência não foi a mesma. Isso é o que chamamos de aliasing.

Resposta

f = 12,5   H z