Sistemas discretos no tempo

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Teoria

Sistemas contínuos vs Sistemas discretos

Até aqui, viemos estudando o controle de processos utilizando sistemas contínuos no tempo.

Sistemas contínuos no tempo são aqueles sistemas que dada uma entrada contínua obtemos uma saída também contínua.

Ou seja, dada uma função de entrada contínua x ( t ) , o sistema resultada uma função de saída contínua y ( t ) .

Um sistema é discreto quanto transforma entradas em tempo discreto em saídas de tempo discreto. Uma entrada em tempo discreto são entradas pontuais. A função abaixo é um exemplo de função discreta no tempo.

Um circuito é um exemplo de um sistema contínuo no tempo.

Para esse circuito, a modelagem em tempo contínuo nos dá:

1 R C v s t = d v c t d t + 1 R C v s ( t )

Vamos agora tentar pensar num exemplo de sistema discreto.

Imagina que você dá aulas particulares e todo mês recebe uma quantidade de dinheiro diferente. Desse dinheiro que você recebe você sempre separa metade para investir em cursos para sua formação e R $   30,00 para pagar a Netflix. O restante você guarda porque você quer comprar um computador novo porque o seu já tá no bico do urubu. Vamos tentar montar uma equação que nos dê o quanto você tem a cada mês.

k → é um mês qualquer;

x k → é o quanto você recebeu em um mês k;

y k → é o dinheiro que você tem no mês k .

Sendo assim, a nossa equação ficará:

y k = y k - 1 + x k - 0,5 x k - 30

Ou seja, a quantidade de dinheiro que você tem em um mês é igual ao que você tinha guardado do mês anterior mais o seu salário do mês atual descontado o que você separa para sua formação e para Netflix.

Esse sistema é discreto porque as entradas não são contínuas, elas são pontuais a cada mês e produz saídas pontuais.

Os sistemas discretos, assim como os sistemas contínuos, podem ser classificados de diversas maneiras, e são essas classificações que veremos abaixo.

Sistemas com e sem memória

Os sistemas discretos podem ser do tipo com memória ou sem memória.

Um sistema com memória é um sistema cuja saída em um dado instante depende de saídas anteriores. O sistema do exemplo anterior é um sistema com memória

y k = y k - 1 + x k - 0,5 x k - 30

Nesse sistema, a quantidade de dinheiro que você tem no mês k depende da quantidade de dinheiro que você tinha no mês anterior ( k - 1 ), e por isso esse sistema é classificado como “com memória”.

Outro exemplo de sistema “com memória” é a sequência de Fibonacci. Na sequência de Fibonacci, cada termo é igual à soma dos dois termos anteriores. Sendo assim:

y k = y k - 1 + y ( k - 2 )

Um sistema sem memória, por sua vez, independe de qualquer valor anterior só importando os valores de entradas e saídas do instante atual. Por exemplo, o lucro líquido de uma empresa em um determinado mês k :

l k = r k - c ( k )

O lucro no mês k , l ( k ) , é igual à receita nesse mês, r ( k ) , menos os gastos nesse mês, c ( k ) .

Sistemas invertíveis

Um sistema é chamado de invertível quando para cada entrada diferente, obtém-se uma saída diferente.

Basicamente, um sistema pode ser considerado invertível se existir algum sistema inverso que você pode aplicar à resposta do seu sistema original e obter a mesma entrada.

Um exemplo prático seria com o sistema acumulador. O sistema acumulador é um sistema que soma todos os termos de entrada anteriores:

y k = ∑ n = - ∞ k x n

O sistema acumulador, também pode ser escrito da seguinte maneira:

y k = y k - 1 + x ( k )

Como o valor anterior da variável y compreende a soma de todas as entradas até k , para obter o valor de y ( k ) basta somar y ( k - 1 ) com a entrada atual, x ( k ) .

Sendo assim, o inverso desse sistema é dado pela expressão abaixo:

x k = y k - y ( k - 1 )

Os sistemas não-invertíveis são aqueles onde não existem sistemas que conseguem reverter todas as saídas de volta à suas entradas originais. Exemplo:

y k = x k 2

Esse sistema não é invertível pois para valores diferentes de x ( k ) são encontradas o mesmo valor de y ( k ) .

Causalidade

A gente diz que um sistema é causal quando a saída em qualquer instante depende apenas das entradas presentes ou das anteriores.

Qualquer sistema que tenha algum termo antecipativo é um sistema não-causal.

y k = x k + x k + 1

Esse sistema é não-causal. O termo x ( k + 1 ) adiciona um aspecto antecipativo ao sistema eliminando sua causalidade.

Invariância e linearidade

Para um sistema ser invariante, um deslocamento de tempo na entrada faz com que a saída sofra o mesmo deslocamento de tempo.

Imagine que a saída, y ( k ) , seja uma função F da entrada x ( k ) :

y k = F x k

Para um sistema ser invariante no tempo é preciso que:

y k - k 0 = F x k - k 0

Para um sistema ser considerado linear ele deve atender ao critério da homogeneidade:

x k → y ( k )

a x k → a y ( k )

O critério da homogeneidade diz que se uma dada entrada x resulta em uma saída y , se multiplicarmos essa entrada por uma constante, a saída deverá ser multiplicada pela mesma constate.

Ele também deve atender ao critério da aditividade:

x 1 k → y 1 ( k )

x 2 k → y 2 ( k )

x 1 k + x 2 k → y 1 k + y 2 ( k )

Ou seja, se uma entrada x 1 gera uma saída y 1 , e uma entrada x 2 gera uma saída y 2 , uma entrada que seja a soma dessas duas entradas produzirá uma saída que será a soma das duas saídas anteriores.

Escrevendo o matematiquês de outra forma:

y k = F [ a x 1 k + b x 2 k ]

Se o sistema for linear, nós podemos escrever a saída y ( k ) como a soma das funções das duas entradas separadamente.

y k = F a x 1 k + F b x 2 k

Além disso, poderemos também dizer que a função de uma constante vezes a entrada é igual à constante vezes a função da entrada, ou seja, podemos colocar a constante de multiplica a entrada para fora.

y k = a F x 1 k + b F x 2 k

Estabilidade

Para terminar a última propriedade que veremos dos sistemas discretos no tempo é a propriedade da estabilidade.

Para que um sistema seja considerado estável é preciso que ele gere respostas limitadas para entradas limitados.

É o que chamamos de critério BIBO (Bound Input, Bound Output), que significa exatamente isso: entrada limitada, saída limitada.

Em resumo, para um sistema ser estável ele deve produzir uma resposta que não tenda ao infinito para qualquer entrada que não seja infinito.

Ou seja, se a entrada de um sistema for uma constante (ex: 2 , π , e ) para ele ser estável a saída do sistema não pode tender ao infinito.

Se, o único momento que um sistema tende ao infinito é quando sua entrada tende ao infinito, o sistema é considerado então estável

Sistemas invertíveis

Causalidade

Invariância e linearidade

Estabilidade

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Uma pessoa faz regularmente um depósito (a entrada) em um banco a cada mês. O banco paga um certo juros na conta bancária durante o período e envia periodicamente uma correspondência com o saldo (a saída) ao depositante. Determine a equação que correlaciona e saída y   [ n ] (o saldo) com a entrada x [ n ] (o depósito).

Considere que r é a taxa de juros por real por mês.

Passo 1

Precisamos encontrar a expressão que melhor descreve o cenário acima.

Todo mês, a pessoa deposita um certo dinheiro, além de receber uma taxa do banco. Essa pessoa é muito regrada e focada e não saca nem gasta nada. Sendo assim, teremos:

V a r i a ç ã o   n a   c o n t a = D e p ó s i t o + { J u r o s }

Passo 2

A variação na conta de um mês para o outro será a diferença entre esses valores, ou seja:

V a r i a ç ã o   n a   c o n t a = y n - y [ n - 1 ]

O depósito, é a variável de entrada do nosso problema:

D e p ó s i t o = x [ n ]

E os juros serão sempre concendidos em cima do valor do mês anterior, ou seja:

J u r o s = r y [ n - 1 ]

Portanto, teremos:

y n - y n - 1 = x n + r y [ n - 1 ]

Passando o y n - 1 para a esquerda, teremos:

y n = x n + 1 + r y [ n - 1 ]

Resposta

y n = x n + 1 + r y [ n - 1 ]

Exercício Resolvido #2

Seja p [ n ] a população de um certo país no começo do n-ésimo ano. As taxas de nascimento e mortalidade da população durante qualquer ano são 3,3 e 1,3 % respectivamente. Se i [ n ] é o número total de imigrantes entrando no país durante o enésimo ano, escreva a equação relacionando p [ n + 1 ] , p [ n ] e i [ n ] . Assuma que os imigrantes entram no país ao longo do ano em uma taxa uniforme.

Passo 1

Precisamos encontrar a expressão que melhor descreve esse modelo populacional.

Antes de começar a escrever a matemática do problema, vamos pensar melhor nele. Todo ano nesse país, um certo número de pessoas morres, um certo número de pessoas nascem e além disso, novas pessoas chegam do exterior.

Sendo assim, podemos afirmar que a diferença de população de um ano para o outro será igual ao número de pessoas que nascem, menos o núemero de pessoas que morrem mais o número de pessoas que imigram para esse país.

V a r i a ç ã o   d a   p o p u l a ç ã o = N a s c i m e n t o s - M o r t e s + { I m i g r a n t e s }

Passo 2

Vamos começar a substituir cada parcela dessa pelos seus termos matemáticos.

A variação da população, pode ser escrita como a diferença da população de um ano em relação ao ao anterior. Ou seja:

V a r i a ç ã o   d a   p o p u l a ç ã o = p n + 1 - p [ n ]

Também poderíamos escrever como:

V a r i a ç ã o   d a   p o p u l a ç ã o = p n - p [ n - 1 ]

Mas como o enunciado pede que a expressão relacione p n + 1 , vamos manter da primeira forma.

Estamos assim então:

p n + 1 - p [ n ] = N a s c i m e n t o s - M o r t e s + { I m i g r a n t e s }

Passo 3

Os nascimentos e mortes são dados no enunciado, e dependem do valor da população do ano atual.

N a s c i m e n t o s = 0,033 p [ n ]

M o r t e s = 0,013 p [ n ]

Substituindo na expressão:

p n + 1 - p [ n ] = 0,033 p [ n ] - 0,013 p [ n ] + { I m i g r a n t e s }

Por fim, o número de imigrantes que chegam ao país é uma constante, que pode ser expressa como:

I m i g r a n t e s = i [ n ]

Sendo assim:

p n + 1 - p [ n ] = 0,033 p [ n ] - 0,013 p [ n ] + i [ n ]

Passo 4

Como temos alguns termos que dependem de p [ n ] , podemos juntar tudo em um só:

p n + 1 - p n - 0,033 p n + 0,013 p n = i [ n ]

p n + 1 - 1,02 p n = i [ n ]

Resposta

p n + 1 - 1,02 p n = i [ n ]

Exercício Resolvido #3

A média móvel é usada para detectar a tendência de uma variável que flutua muito rapidamente como as médias do mercado de ações. Uma variável pode flutuar (para cima ou para baixo) diariamente, mascarando a sua tendência de longo prazo. Podemos obter a tendência de longo prazo suavizando ou tomando a média dos N últimos valores da variável. Para o mercado de ações, podemos considerar uma média móvel y [ n ] de 5 dias como sendo a média dos valores de fechamento do mercado de ações dos últimos cinco dias, x [ n ] , x [ n - 1 ] ... x [ n - 4 ] .

(a) Escreva a equação relacionando y [ n ] com a entrada x [ n ] .

(b) Usando elementos de atraso, faça um diagrama de blocos deste filtro de média móvel

Passo 1

A média móvel, que a nossa saída y [ n ] nada mais é do que a média das últimas cinco entradas.

Portanto:

y n = x n + x n - 1 + x n - 2 + x n - 3 + x n - 4 5

Passo 2

O diagrama de blocos para o sistema poderá ser representado da seguinte maneira:

Onde cada bloco A é um elemento de atraso, ou seja, uma função que chega nele sempre sai com um atraso de 1 . Sendo assim, nossa função x [ n ] precisa passar por esse bloco cinco vezes, e a saída de cada um dos blocos deve ser somada e então dividida por 5 .

Resposta

y n = x n + x n - 1 + x n - 2 + x n - 3 + x n - 4 5

Exercício Resolvido #4

A saída de uma caixa registradora y [ n ] o custo total de n itens registrados pelo caixa. A entrada x [ n ] é o custo do n-ésimo item:

(a) Escreva a equação relacionando y [ n ] com a entrada x [ n ] .

(b) Represente o diagrama de blocos desse sistema usando um elemento de atraso de tempo.

Passo 1

A saída y [ n ] representa a soma de todos os itens vendidos até aquele momento. Cada item tem valor x [ n ] , sendo assim, podemos escrever y [ n ] como:

y n = x n + x n - 1 + x n - 2 + … + x 2 + x [ 1 ]

A expressão acima está correta e poderia ser a resposta, entretanto existe uma forma mais elegante de escrever isso (e também vai ajudar a gente pro item b)

Analogamente à forma como escrevemos a expressão de y [ n ] , podemos também escrever a expressão de y [ n - 1 ] :

y n - 1 = x n - 1 + x n - 2 + … + x 2 + x [ 1 ]

Podemos ver que a y [ n - 1 ] é igual à toda a parte final da expressão de y [ n ] , podemos então fazer a substituição e ficaremos com:

y n = x n + y [ n - 1 ]

Passo 2

O diagrama de blocos para o sistema poderá ser representado da seguinte maneira:

Para gerar a saída y [ n ] devemos somar a entrada x [ n ] com a própria saída atrasada y [ n - 1 ] . Sendo assim, a gente realimenta o sistema com a própria saída, mas antes de somá-la à entrada, ela deve passar por um bloco de onde ela sairá atrasada.

Resposta

y n = x n + y [ n - 1 ]

Exercício Resolvido #5

Aproxima a seguinte equação diferencial de segunda ordem por uma equação discreta no tempo.

d 2 y t d t 2 + a 1 d y t d t + a 0 y t = x ( t )

Passo 1

O primeiro tempo é transformar todas as funções contínuas no tempo em funções discretas.

As funções y ( t ) e x ( t ) é só mudar diretão mesmo:

y t = y [ n ]

x t = x [ n ]

Para transformar as derivadas teremos que pensar um pouquinho mais, primeiramente vamos lembrar a definição de derivada:

d y t d t = lim Δ t → 0 ⁡ y t - y t - Δ t Δ t

Ou seja, a diferença entre uma função num certo tempo e essa mesma função num pequeno espaço de tempo anterior dividido por esse espaço de tempo.

Se formos aplicar isso num sistema discreto, o menor espeaço de tempo que podemos ter é o intervalo entre uma medida e outra. O Δ t será portanto o período de discretização, isto é, o tempo que o sistema leva para tomar as medidas:

d y t d t ≅ y n - y [ n - 1 ] T

Para a derivada segunda, devemos fazer o que fizemos para a derivada primeira duas vezes:

d 2 y t d t 2 ≅ y n - y n - 1 T - y n - 1 - y n - 2 T T

Se rearranjarmos:

d 2 y t d t 2 ≅ y n - 2 y n - 1 + y n - 2 T 2

Passo 2

Vamos agora substituir tudo que encontramos na equação diferencial do enunciado:

y n - 2 y n - 1 + y n - 2 T 2 + a 1 y n - y [ n - 1 ] T + a 0 y [ n ] = x [ n ]

Multiplicando toda a equação por T 2 , teremos:

y n - 2 y n - 1 + y n - 2 + a 1 T ( y n - y n - 1 ) + T 2 a 0 y [ n ] = T 2 x [ n ]

Por fim, rearranjando:

y n 1 + a 1 T + a 0 T 2 - y n - 1 2 + a 1 T + y n - 2 = T 2 x [ n ]

Resposta

y n 1 + a 1 T + a 0 T 2 - y n - 1 2 + a 1 T + y n - 2 = T 2 x [ n ]

Exercício Resolvido #6

Um sistema discreto é dado por:

y n + 1 = x n x n + 1

  1. O sistema é BIBO?
  2. O sistema é sem memória?
  3. O sistema é causal?

Passo 1

Antes de responder as perguntas, é legal reescrever o sistema de outra forma. Para facilitar as visualizações, muitas vezes é melhor trazer o sistema para o presente, isto é, deixar na expressão y [ n ] e não y [ n + 1 ] . Sendo assim, vamos atrasar uma unidade de todo mundo no sistema:

y n = x n - 1 x n

Passo 2

Bora lá!

A primeira pergunta é se o sistema é BIBO, ou seja, se é estável. Para que isso aconteça o sistema jamais pode extrapolar para o infinito se a entrada for limitada.

Mas pensa comigo, se x [ n ] for igual a 0 , y [ n ] tenderá ao infinito.

Ou seja, com uma entrada limitada, x n = 0 , a saída não foi limita. y n → ∞ , portanto, o sistema não é BIBO.

Passo 3

A segunda pergunta é se o sistema é sem memória.

Um sistema sema memória é aquele que só vive do presente ou do futuro, ou seja, não tem nenhum termo atrasado, seja de entrada ou da própria saída.

Entretanto, o sistema depende de x [ n - 1 ] que é um termo “atrasado”, portanto, o sistema não é sem memória.

Passo 4

Por último, precisamos dizer se o sistema é causal ou não.

Sistemas causais são aqueles que não tem nenhum termo antecipativo. Ou seja, qualquer sistema que tenha um termo como x [ n + α ] ou y [ n + α ] é chamado de não-causal.

No sistema do nosso enunciado, não temo nenhum termo antecipatório, portanto, ele é causal.

Resposta

  1. Não é BIBO
  2. Não é sem memória
  3. É causal

Exercício Resolvido #7

Um sistema linear e invariante no tempo tem a seguinte resposta à entrada x n = δ [ n ] (resposta ao impulso):

Faça um esboço da saída y [ n ] deste sistema quando a entrada é:

  1. x n = 3 δ [ n ]
  2. x n = δ [ n - 2 ]
  3. x n = 2 δ n + 0,5 δ [ n - 1 ]

Passo 1

Para o primeiro caso, a entrada é três vezes maior, como o sistema é linear a sua saída deverá ser também três vezes maior, portanto:

Passo 2

Na letra b), a entrada está atrasada no tempo em duas unidades. Como o sistema é invariante no tempo, um atraso na entrada, representará um atraso na saída, portanto:

Passo 3

No último caso, temos uma combinação das duas propriedades. Além de mutiplizar a entrada por um fator de 2 teremos que somar o valor anterior multiplicado po 0,5 . Portanto, teremos:

Resposta

  1. Não é BIBO
  2. Não é sem memória
  3. É causal

Exercício Resolvido #8

Um sistema de tempo discreto é definido pela seguinte equação de diferenças:

y n = x n 1 - x n - 1

  1. Esse sistema é causal? Justifique
  2. Esse sistema tem memória? Justifique
  3. Esse sistema é linear? Justifique
  4. O sistema é invariante no tempo? Justifique

Passo 1

Bom esse é moleza. Sistema causal é aquele que não tem termo antecipativo, como é o caso do nosso amiguinho aqui.

Portanto ele é sim causal.

Passo 2

Sistema com memória é aquele que depende de valores “atrasados”, seja de entrada ou de saída.

Nesse caso, temos aqui que y [ n ] depende diretamente de x [ n - 1 ] , portanto, o sistema tem memória.

Passo 3

A melhor forma de ver se o sistema é linear ou não e supondo valores e testanto.

Por exemplo, primeiramente vamos deixer que:

x 1 n = 2

x 1 n - 1 = - 1

Com esses valores, teremos:

y 1 n = 4

Agora vamos supor:

x 2 [ n ] = 1

x 2 n - 1 = 0

Com esses valores, teremos:

y 2 n = 1

Até aqui, a gente só chutou números né, agora vem o teste em si. Para atender ao teste da aditividade, o seguinte tem que ser verdadeiro:

y 1 n + y 2 n = F ( x 1 n + x 2 n )

Ou seja, vamos calular novamente a função, agora somando os valores:

x 3 n = x 2 n + x 1 n = 1 + 2 = 3

x 3 n - 1 = x 2 n - 1 + x 1 n - 1 = 0 - 1 = - 1

`Portanto:

y 3 n = 6

Para atender ao critério:

y 3 n = y 2 n + y 1 [ n ]

6   ≠ 5

Portanto, não é linear pois não atendeu ao critério da aditividade.

Podemos fazer o teste também pelo critério da homogeneidade. Através desse critério se multiplicarmos as entradas por um fator, a saída também precisa ser multiplicada pelo mesmo fator.

Voltando ao primeiro exemplo, nós tínhamos:

x 1 n = 2

x 1 n - 1 = - 1

E isso gerou:

y n = 4

Pelo critério da homogeinidade, se as entradas forem dobradas, a saída também deverá ser dobrada. Vamos ver se isso acontece:

x 2 n = 4

x 2 n - 1 = - 2

Assim teremos:

y 2 n = 12

Ou seja, o sistema não atende nem ao critério da homogeinidade nem ao da aditividade, e portanto, não é linear.

Passo 4

Por fim, precisamos apenas checar se ele é invariante no tempo.

Isso quer dizer que se atrasrmos ou adiantarmos as entradas uma certa quantidade, a saída deverá ser adianta ou atrasada igualmente.

Se atrasarmos as entradas em uma unidade teremos:

y n - 1 = x [ n - 1 ] ( 1 - x n - 2 )

O sistema é então invariante no tempo.

Sistemas não invariantes geralmente são aqueles que dependem do próprio termo, por exemplo:

y n = n x [ n ]

Esse n do lado de fora, torna o sistema não invariante, o que não é o caso do sistema do nosso enunciado.

Resposta

  1. Causal
  2. Tem memória
  3. Não é linear
  4. Invariante no tempo