Controlador liga/desliga e proporcional

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Teoria

Introdução

Um sistema de controle é formado por vários elementos: nós temos o nosso sensor que mede a variável de processo, o transmissor que transmite o sinal lido pelo sensor, a válvula que manipula alguma variável do processo.

Entretanto, de todos os elementos do nosso sistema de controle, talvez nenhum seja tão importante como o controlador. O controlador pode ser considerado o patrão do sistema. É ele que vai mandar em todos os outros elementos e vai decidir as ações que devem ser tomadas.

O controlador recebe o sinal do erro, E ( s ) , que é a comparação entre o valor da variável controlada medida pelo sensor-transmissor, C ( s ) e o valor de setpoint (referência), R ( s ) .

E s = R s - C ( s )

Com base no valor do erro, E ( s ) , ou seja, na diferença entre a variável medida e o valor de referência, o controlador decide as ações necessárias para neutralizar o erro, fazendo com que a variável de processo se aproxime o máximo possível do valor do setpoint. Lembre-se, o setipoint é quem dita o valor desejado da variável controlada, é naquele valor que o processo vai estar o mais otimizado possível.

Se a gente pegar o pedaço do diagrama que está destacado na imagem acima e ampliar, teremos o seguinte:

M s E s = G c ( s )

Portanto, a partir de agora vamos começar a entender como esses elementos tão importantes funcionam. Vamos começar com os mais simples e baratos, porém os mais usados na indústria, o controlador liga/desliga (on/off) e o controlador proporcional (P).

Controlador liga/desliga

O ar condicionado da faculdade, a geladeira da sua casa, o ferro de passar. Todos esses equipamentos funcionam com um controlador do tipo liga/desliga.

Esse tipo de controlador só permite duas posições, ou totalmente ligado, ou totalmente desligado.

Vamos analisar como o ar condicionado funciona.

Quando você liga o ar condicionado, você seleciona uma temperatura que deseja que o ambiente esteja, por exemplo, 20 ºC, essa temperatura será a temperatura de referência. O ar condicionado vai começar a resfriar o ambiente então, até que a temperatura de referência seja alcançada, ou ultrapassada um pouco.

Quando esse momento chega, o ar condicionado desligará, porém, continuará monitorando a temperatura do ambiente até que ela suba e fique distante demais do valor de referência, quando isso acontecer, o ar condicionado ligará e começará a resfriar o ambiente novamente.

O controlador liga/desliga, também chamado de ação em duas posições, é o mais comum tanto na indústria como no uso doméstico. Isso se deve ao fato de sua simplicidade, e de seu baixo custo. Entretanto para processos mais complexos e que precisam ser controlados com mais rigor, o controlador liga/desliga pode não ser suficiente para fazer esse controle, e um outro tipo de controlador será necessário.

Dessa forma, o controle do tipo liga/desliga funcionará da seguinte forma:

Perceba que enquanto o controlador está ligado (on), o valor da variável controlada aumenta e vai de um valor menor que o valor de setpoint até um valor acima do valor de setpoint. Quando a variável controlada aumenta muito, o controlador desliga (off), e então o valor da variável manipulada começa a diminuir até o controlador ligar novamente.

Perceba que usando esse tipo de controlador, a variável manipulada sempre fica ao redor do valor de setpoint, mas nunca se estabiliza nele. Além disso, como a subida e a descida da variável manipulada não é linear, o valor médio da variável manipulada nunca será igual ao valor de referência, essa diferença é chamada de erro residual, ou offset.

Outra conclusão que podemos tirar do gráfico, é que quanto menor for o tempo diferencial, que é o intervalo entre a mudança das ações, menor será o valor do erro residual e mais próximo do setpoint a variável controlada vai ficar. Ou seja, se o ar condicionado ligasse/desligasse a cada 30   s e g u n d o s , ele seria mais preciso e a temperadura variaria menos do que se ele fizesse isso a cada 5   m i n u t o s . Entretanto, quando o tempo diferencial é muito baixo, a vida útil do equipamento tende a ser reduzida, porque ele tem que ficar ligando/desligando com muita frequência. Sacou?

Resumidamente, podemos chegar às seguintes conclusões sobre o controle on/off:

  • A intensidade da correção independe da intensidade do desvio, ou seja, não importa o quão afastado do setpoint a variável controlada esteja, o controlador só pode estar ou totalmente ligado, ou totalmente desligado.
  • O ganho é infinito, pois se não houvesse troca de ligado para desligado e vice-versa, a variável manipulada tenderia ao infinito. Repare no gráfico que se o controlador ficasse ligado para sempre, a variável controlada subiria infinitamente.
  • Provoca oscilações no processo, pois como o sinal do controlador está sempre mudando, a variável de processo (controlada) também oscilará.
  • Sempre deixa erro residual (offset).

Controlador proporcional

O controlador proporcional, também é um controlador de simples implementação e de custos relativamente baixos. Esse controlador, diferentemente do liga/desliga muda a inetsidade da ação de acordo com a quantidade do desvio.

A fórmula do sinal que sai do controlador, m ( t ) , é a seguinte:

m t = m - + K c e ( t )

O valor m - é uma constante que representa a saída do controlador quando não existe erro.

Essa fórmula também nos mostra que o sinal de saída do controlador, m ( t ) , é diretamente proporcional ao erro, daí o nome controlador proporcional, quanto maior for erro, maior proporcionalmente será a variação da saída do controlador.

Essa proporcionalidade é dada pelo ganho do controlador K c , que tem unidade de medida em % S C % S T (porcentagem de saída do controlador por porcentagem de saída do transmissor). Quando K c tem sinal positivo, o controlador é dito de ação reversa, quando ele tem sinal negativo, o controlador é de ação direta.

Para entender isso, vamos analisar essas duas equações:

e t = r t - c ( t )

m t = m - + K c e ( t )

Um controlador é de ação direta quando um aumento na variável de processo, c ( t ) , causa um aumento na saída do controlador, m ( t ) . Se a variável do processo aumenta, o erro tem sinal negativo, dessa forma, para que a saída do controlador também aumente (controlador direto), o ganho do controlador, K c , precisa ter sinal negativo. Por isso o ganho negativo indica um controlador de ação direta.

Um controlador é de ação inversa quando um aumento na variável de processo, c ( t ) , causa uma diminuição na saída do controlador, m ( t ) . Se a variável do processo aumenta, o erro tem sinal negativo, dessa forma, para que a saída do controlador diminua (controlador reverso), o ganho do controlador, K c , precisa ter sinal positivo. Por isso o ganho positivo indica um controlador de ação inversa.

Essa tabelinha resume bem todas essas informações:

Vamos retornar à equação do controlador:

m t = m - + K c e ( t )

Aplicando transformada de Laplace na equação do sinal do controlador, teremos:

M s = K c E s

Logo:

M s E s = K c = G c

Como vimos anteriormente, o ganho indica a proporcionalidade com que o sistema varia de acordo com uma alteração no valor do erro.

Por exemplo, se K c = 2 , e a variável controlada se afasta em 1 unidade do valor de setpoint, o sinal do controlador vai variar 2 unidades.

O gráfico abaixa mostra melhor como isso funciona:

Erro residual e Banda Proporcional

Os controladores proporcionais têm a vantagem de serem simples, baratos, de fácil implementação e de possuírem apenas um parâmetro (ganho) para sintonização. Entretanto, esses controladores possuem uma grande desvantagem: eles sempre operam com um valor de erro residual.

Caso um sistema esteja operando com um controlador proporcional e sofra uma perturbação que altere o valor da sua variável controlada, o controlador proporcional jamais será capaz de retomar a variável manipulada ao seu setpoint. Sempre haverá uma diferença no estado estacionário para o valor de setpoint. Essa diferença é chamada de erro residual, ou offset.

O erro residual, entretanto, pode ser manipulado alterando-se o valor do ganho do controlador, K c . De forma geral, o aumento do ganho do controlador causa uma diminuição do erro residual, e a diminuição do ganho do controlador causa um aumento do erro residual. Isso acontece porque quanto maior o ganho, maior será a intensidade que o controlador vai reagir a uma variação da variável controlada, afinal, o sinal de saída do controlador é paralelo tanto ao erro quanto ao ganho.

“Ah mas então é fácil, é só colocar o ganho do controlador lá nas alturas que a gente diminui o valor do erro residual”.

Quem dera a vida fosse fácil assim, meu jovem. O aumento do ganho do controlador também faz com que o sistema fique mais oscilatório e mais instável, isso porque a resposta do controlador é mais enérgica. Dessa forma, sempre vai existir um limite superior para o ganho do controlador de forma que ele não deixe o sistema instável.

Um outro conceito importante é o de banda proporcional, ou simplesmente, BP:

B P = 100 K c

Banda proporcional é o erro, e t , necessário para mover a saída do controlador do seu estado mínimo para o seu estado máximo. O sinal dos controladores funcionam em porcentagem, sendo assim, a banda proporcional é o erro que faz com que o sinal do controlador saia de 0 % e vá para 100 % . Banda proporcional e ganho são duas coisas diferente para passar a mesma informação. Alguns autores optam por usar ganho e outros, por usar banda proporcional.

Uma coisa que precisamos sempre ter em mente é que um ganho pequeno representa uma banda proporcional grande, e vice-versa.

Controlador proporcional

Erro residual e Banda Proporcional

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um controlador de temperatura possui range 300 K a 440 K e tem seu valor de referência ajustado em 384 K . Achar o erro porcentual quando a temperatura medida é de 379 K .

Passo 1

Quando dizemos que o range do controlador está ajustado entre 300   K e 440 K significa dizer que é nesse intervalo que ele trabalha e que consegue fazer o controle adequado. Quando a temperatura se encontra no limite inferior, é como se ela estivesse em 0 % e no limite superior, em 100 %

Passo 2

Para calcular o erro, precisamos calcular a diferença entre valor medido e o nosso valor de referência (setpoint).

E para calcular o erro percentual, basta dividir o erro pelo nosso range, ou seja:

e % = 384 - 379 440 - 300 * 100 = - 3,6 %

O erro é negativo porque a variável de processo está abaixo do valor de referência.

Resposta

e % = - 3,6 %

Exercício Resolvido #2

Um sistema está sendo controlado através da ação proporcional direta, e se encontra funcionando nas seguintes condições:

Variável de processo ( V P ) = 50 %

Setpoint ( S P ) = 40 %

Banda proporcional ( B P ) = 60 %

Calcular a saída do controlador neste instante sabendo que m - é iguaç a 50 % .

Passo 1

O exercício quer que a gente calcule o sinal de saída do controlador no instante em que o sistema se encontra sob as condições acima. Como o controlador é de ação proporcional, a sua fórmula é a seguinte:

m t = m - + K C e ( t )

Precisamos então calcular m ( t ) .

Passo 2

O valor de m - nós já temos, é 50 % .

Não nos foi dado o valor de K C mas foi dado a banda proporcional, e sabemos que:

K C = 100 B P

Logo:

K c = 100 60 = 5 3

Como o enunciado diz que o controle é de ação direta, nós sabemos então que o ganho do controlador é negativo:

K c = - 5 3

Passo 3

Agora só falta calcular o erro.

O erro é a diferença entre o setpoint e a variável de processo, logo:

e t = 40 - 50 = - 10

Passo 4

Aplicando tudo na fórmula:

m t = m - + K C e ( t )

m t = 50 - 5 3 - 10 = 50 + 16,67 = 66,67 %

Resposta

m t = 66,67 %

Exercício Resolvido #3

Um sistema de controle proporcional tem o setpoint para a variável controlada em 60 % . Quando a variável controlada atinge 70 % o sinal que deixa o controlador passa a ser 30 % .

Qual o valor do ganho do controlador sabendo que inicialmente m - = 50 % . O controlador é de ação direta ou reversa?

Passo 1

Para calcular o ganho que foi pedido no exercício, usaremos a seguinte fórmula:

m t = m - + K C e ( t )

Vamos ver o que é cada um desses elementos.

Passo 2

O valor de m ( t ) é a saída do controlador após a perturbação, ou seja, 30 % .

O valor de m - é o valor da saída do controlador quando o erro é 0 , nesse caso, 50 % .

Agora devemos calcular o erro, e ( t ) , que é a diferença entre setpoint e vari´vel de processo, logo:

e t = 60 - 70 = - 10 %

Passo 3

Agora podemos aplicar tudo na fórmula:

m t = m - + K C e ( t )

30 = 50 - 10 K C

10 K C = 50 - 30

K C = 2

Passo 4

O exercício também pede que a gente diga se a ação do controlador é direta ou reversa.

Nesse caso a ação do controlador é reversa, visto que o ganho tem sinal positivo. Isso pode ser comprovado também pelo fato de que o aumento na variável de processo controlada causou uma diminuição do sinal de saída do controlador.

Resposta

K C = 2

Ação reversa

Exercício Resolvido #4

Um controlador proporcional de ação reversa é sensibilizado por um desvio que se manifesta a uma taxa de 8 % / m i n . Sabendo que a banda proporcional é 20 % , qual é a variação produzida na saída do controlador ao final dos primeiros 20   s e g u n d o s ?

Passo 1

O exercício quer que a gente calcule a diferença no sinal de saída do controlador no instante 20   s e g u n d o s . Como o controlador é de ação proporcional, a sua fórmula é a seguinte:

m t = m - + K C e ( t )

Portanto, a diferença no sinal de saída será:

m t - m - = K c e ( t )

Passo 2

Então precisamos calcular o ganho e o erro.

Foi dito no enunciado que o controlador é de ação reversa, portanto, ganho positivo.

Além disso, foi dado o valor da banda proporcional. Então:

K C = 100 B P = 100 20 = 5

Passo 3

Agora só falta calcular o erro.

Foi dito que a perturbação aumenta a uma taxa de 8 % / m i n , então precisamos encontrar o valor da perturbação em 20   s e g u n d o s

8 % - - - - - - → 60   s e g u n d o s

x - - - - - - → 20   s e g u n d o s

Sendo assim:

x = 8 3 %

Passo 4

Aplicando tudo na fórmula:

m t - m - = K C e ( t )

m t - m - = 5 8 3 = 13,33 %

Resposta

m t - m - = 13,33 %

Exercício Resolvido #5

Um transmissor envia um sinal de 11,20   m A para um controlador propocional cujo valor setado está ajustado para 12,00   m A . O controlador envia então um sinal de 6,80   m A para o posicionador. Nestas consições, e sabendo que inicialmente m - = 12,00   m A , em qual faixa proporcional o controlador está ajustado?

Passo 1

Nosso objetivo aqui é calcular a banda proporcional com que o controlador está funcionando.

Para calcular a banda proporcional, podemos calcular primeiramente o ganho do controlador:

B P = 100 K c

E o ganho, pode ser definido como o número de vezes que o sinal do controlador varia em relação ao erro, ou em outras palavras:

K C = v a r i a ç ã o   d a   s a í d a v a r i a ç ã o   d a   e n t r a d a

Passo 2

Calulando K C :

K C = 6,80 - 12,00 11,20 - 12,00 = - 5,20 - 0,80 = 6,5

Passo 3

Sendo assim, a banda proporcional ajustada é então:

B P = 100 K c

B P = 100 6,5 = 15,38 %

Resposta

B P = 15,38 %

Exercício Resolvido #6

No controle de velocidade de um motor de corrente contínua – CC – a velocidade é medida por um tacogerador. O sinal de saída deste dispositivo é enviado ao controlador que o compara ao valor desejado, gerando um sinal de erro. Este por sua vez é aplicado a um controlador (com circuitos a amplificadores operacionais) que gera um sinal de baixa potência que é enviado para um amplificador de potência que, finalmente, gera um sinal de comando – tensão elétrica – para o motor CC, alterando o valor da velocidade de acordo com o valor de referência. A partir da situação exposta, assinale a alternativa correta:

a) O controle de velocidade do motor CC é realizado com a estratégia on-off.

b) No controle do motor CC, pode-se dizer que o amplificador de potência faz o papel do controlador.

c) O tacogerador é um sensor de velocidade, que tem em sua saída um sinal de tensão proporcional à velocidade.

d) A velocidade medida somada ao valor de referência gera o sinal de entrada do controlador.

Passo 1

Vamos analisar cada alternativa:

A alternativa a) diz que “O controle de velocidade do motor CC é realizado com a estratégia on-off”

Essa afirmativa é falsa visto que o sistema de controle descrito no enunciado não apresenta nenhuma carcaterística do controle on-off.

No enunciado fica claro que o controle é feito comparando o valor medido com um setpoint e as ações são tomadas de acordo com ess diferença, o que caracteriza um controle proporcional.

Passo 2

A alternativa b) diz que “No controle do motor CC, pode-se dizer que o amplificador de potência faz o papel do controlador.”

Essa afirmativa também é falsa uma vez que o amplificador recebe o sinal do controlador e toma a ação de acordo com o sinal recebido. Nesse cenário, o amplificador será o atuador do nosso sistena de controle.

Passo 3

A alternativa c) afirma que “O tacogerador é um sensor de velocidade, que tem em sua saída um sinal de tensão proporcional à velocidade.”

Essa afirmativa é verdadeira, visto que o tacogerador é quem nede a velocidade e envia o sinal para o controlador, funcionando assim como o sensor. Além disso, tacogeradores medem a velocidade e através dessa medida, gera um tensão proporcional em seus terminais.

Passo 4

Já a alternativa d) estabelece que “A velocidade medida somada ao valor de referência gera o sinal de entrada do controlador.”

Essa afirmativa também é falsa. O sinal de entrada do controlador, que é o nosso erro, é a diferença entre o valor de referência e o valor da variável medida, e não a soma das duas grandezas.

Resposta

c) O tacogerador é um sensor de velocidade, que tem em sua saída um sinal de tensão proporcional à velocidade.

Exercício Resolvido #7

Assinale a alternativa correta para um sistema com ação de controle proporcional

a) O valor do offset não depende da banda proporcional e do tempo morto.

b) O erro tende a ser menor à medida que a banda proporcional diminui.

c) À medida que a banda proporcional diminui, a possibilidade de aparecimento de oscilações também diminui.

d) A principal vantagem desse controlador é a eliminação de erro em regime permanente.

Passo 1

Vamos uma por uma então.

A alternativa a) é falsa. O valor do offset tá diretamente relacionado como ganho, e, consequentemente, com a banda proporcional.

Passo 2

A alternativa b) é verdadeira.

Como disse anteriormente, o valor da banda proporcional tá diretamente relacionado com o offset.

Quanto maior o ganho, menor a banda proporcional, e menor o erro. Portanto, essa alternativa está correta.

Passo 3

A alternativa c) é falsa.

Quanto maior for o valor do ganho, mais oscilatório será o sistema, sendo assim, o sistema é mais oscilatório com a diminuição da banda proporcional.

Passo 4

A alternativa d) também é falsa.

A principal característica do sistema proporcional é que ele não elimina o erro em regime permanente.

Resposta

b) O erro tende a ser menor à medida que a banda proporcional diminui.