Exercícios Resolvidos de Trabalho de Escoamento e Entalpia

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Enunciado

Água líquida saturada a 100   k P a entra em um tanque rígido com uma velocidade de 0,2   m / s através de uma tubulação com 0,05   m e a uma altura de 0,5   m em relação ao solo. A água sai do tanque como líquido saturado a mesma pressão da sua entrada, com uma velocidade de 2,5   m / s por um tubo com 0,1   m de diâmetro e a uma altura de 2   m em relação ao solo. Determine a taxa de variação da energia do tanque rígido, considerando que a água do interior do tanque também permanece saturada a 100   k P a a todo momento e que todo o processo é adiabático.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o valor da taxa de variação da energia do tanque rígido d E d t . A figura abaixo mostra todos os dados que temos para calcular esse valor.

ν e é a velocidade da água entrando no tanque rígido por um tubo de diâmetro igual a D e a uma altura Z e do chão. P e é a pressão da água entrado no tanque rígido. ν s é a velocidade da água saindo do tanque rígido por um tubo de diâmetro igual a D s a uma altura Z s do chão. P s é a pressão dessa água.

No próximo passo, veremos qual fórmula é usada para calcular d E d t .

Passo 2

A fórmula da taxa de variação da energia do tanque se encontra abaixo. Ela é a primeira lei da termodinâmica aplicada ao volume de controle.

d E d t = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

onde E ˙ e , m a s s a é a taxa de energia que entra no tanque por causa de entrada de água, E ˙ s , m a s s a é a taxa de energia que sai no tanque por causa de saída de água e W ˙ é a taxa de trabalho que a água do tanque realiza.

As fórmulas de E ˙ e , m a s s a e E ˙ s , m a s s a encontram-se abaixo.

E ˙ e , m a s s a = m ˙ e ⋅ P e ⋅ v e + u e + ν e 2 2 + g ⋅ Z e

E ˙ s , m a s s a = m ˙ s ⋅ P s ⋅ v s + u s + ν s 2 2 + g ⋅ Z s

m ˙ e é a vazão mássica, v e é o volume específico e u e é a energia interna específica da água que entra no tanque.   m ˙ s é a vazão mássica, v s é o volume específico e u s é a energia interna específica da água que sai do tanque. g é a aceleração da gravidade da Terra.

No próximo passo vamos aprender como encontrar os valores de alguns termos das fórmulas!

Passo 3

Os valores de v e , v s , u e e u s estão presentes na tabela de saturação. v e está na mesma linha que a pressão de 100   k P a e na mesma coluna que o volume específico v l . v s é igual a v e , porque a água que entra e a água que sai estão no mesmo estado!

u e e u s estão na mesma linha que a pressão de 100   k P a e na mesma coluna que a energia interna específica u l .

Vamos aprender a calcular m ˙ e , m ˙ s e Q ˙ no passo seguinte!

Passo 4

Na verdade, Q ˙ não precisa ser calculado! Como o enunciado diz que o processo de troca de massa com o ambiente é adiabático, Q ˙ vale zero.

Q ˙ = 0   k W

m ˙ e e m ˙ s são calculadas por fórmulas muito parecidas! Os dois são igual à massa específica da água ρ multiplicada pela velocidade da água ν multiplicada pela área de passagem da água A . Esse área pode ser calculada através do diâmetro do tubo D pelo qual a água passa.

m ˙ e = ρ e ⋅ ν e ⋅ A e       ⟹       m ˙ e = ρ e ⋅ ν e ⋅ π ⋅ D e 2 4

m ˙ s = ρ s ⋅ ν s ⋅ A s       ⟹       m ˙ s = ρ s ⋅ ν s ⋅ π ⋅ D s 2 4

Além disso, as massas específicas são o inverso dos volumes específicos.

ρ e = ρ s = 1 v e

Passo 5

Como o tanque recebe e rejeita quantidades diferentes de água líquida, o volume de água do tanque varia a uma taxa igual a d V V . C . d t . Isso significa que a fronteira da água do tanque se mexe e a água realiza trabalho por movimento de fronteira a uma taxa igual a W ˙ .

Como o enunciado diz que a água permanece sempre a mesma pressão de 100   k P a , esse trabalho é isobárico. Logo, a quantidade de energia por trabalho que o vapor recebe W , quando a fronteira se movimenta pode ser calculado pela seguinte fórmula.

W = P ⋅ Δ V

Δ V é a variação de volume da água do tanque. No entanto, nós não sabemos quando vale W nem Δ V . Então como fazemos para transformar essa fórmula em uma equação que tenha o dado informado pelo enunciado ( P ) e a taxa de trabalho precisamos achar W ˙ ?

O primeiro passo para transformar a fórmula antiga é dividir todos os termos dessa equação pelo intervalo de tempo de duração processo Δ t .

W Δ t = P ⋅ Δ V Δ t

O passo final é fazer o intervalo de tempo Δ t ficar cada vez menor. No limite, quando Δ t tende a zero, essas divisões viram derivadas! Ou seja, elas viram as taxas de variação em relação ao tempo!

lim Δ t ⟶ 0 ⁡ W Δ t = l i m Δ t ⟶ 0 P ⋅ Δ V Δ t       ⟹       lim Δ t ⟶ 0 ⁡ W Δ t = P ⋅ l i m Δ t ⟶ 0 Δ V Δ t       ⟹       W ˙ = P ⋅ d V V . C . d t

d V V . C . d t será calculada no próximo passo.

Passo 6

d V V . C . d t pode ser calculada através da equação de conservação de massa para volumes de controle.

d m V . C . d t = m ˙ e - m ˙ s       ⟹       d ρ ⋅ V V . C . d t = m ˙ e - m ˙ s

No entanto, a massa específica da água do tanque ρ é constante e vale a mesma coisa que a massa específica ρ e , porque as duas águas estão saturadas a 100   k P a . Por isso:

ρ ⋅ d V V . C . d t = m ˙ e - m ˙ s       ⟹       d V V . C . d t = m ˙ e - m ˙ s ρ

Substituindo essa equação na fórmula de W ˙ , encontramos uma nova fórmula para W ˙ .

W ˙ = P ⋅ d V V . C . d t       ⟹       W ˙ = P ⋅ m ˙ e - m ˙ s ρ

Agora que aprendemos tudo isso, podemos começar a fazer as contas!

Passo 7

A primeira parte dos cálculos é de encontrar v e , v s , u e e u s na tabela de saturação.

v e = v s = 0,001043   m 3 k g

u e = u s = 417,33   k J k g

No próximo passo, vamos calcular as vazões e E ˙ e , m a s s a .

Passo 8

Começamos os cálculos das vazões pelo cálculo das massas específicas.

ρ e = ρ s = 1 v e       ⟹       ρ e = ρ s = 1 0,001043       ⟹       ρ e = ρ s = 958,8   k g m 3

Com esses valores, podemos achas as vazões mássicas.

m ˙ e = ρ e ⋅ ν e ⋅ π ⋅ D e 2 4       ⟹       m ˙ e = 958,8 ⋅ 0,2 ⋅ π ⋅ 0,05 2 4       ⟹       m ˙ e = 0,3765   k g s

m ˙ s = ρ s ⋅ ν s ⋅ π ⋅ D s 2 4       ⟹       m ˙ s = 958,8 ⋅ 2,5 ⋅ π ⋅ 0,1 2 4       ⟹       m ˙ s = 18,83   k g s

Agora podemos encontrar E ˙ e , m a s s a e E ˙ s , m a s s a .

E ˙ e , m a s s a = m ˙ e ⋅ P e ⋅ v e + u e + ν e 2 2 + g ⋅ Z e

Cuidado! Para as parcelas de energia potencial e energia cinética ficarem na unidade certa na fómula de E ˙ e , m a s s a , precisamos dividir cada uma dessas parcelas por mil!

E ˙ e , m a s s a = 0,3765 ⋅ 100 ⋅ 0,001043 + 417,33 + 0,2 2 2 / 1000 + 9,81 ⋅ 0,5 / 1000

E ˙ e , m a s s a = 157,2   k W

Vamos partir para o cálculo de E ˙ s , m a s s a , de W ˙ e da taxa de variação de energia do tanque d E m a s s a d t !

Passo 9

E ˙ s , m a s s a = m ˙ s ⋅ P s ⋅ v s + u s + ν s 2 2 + g ⋅ Z s

Cuidado! Para as parcelas de energia potencial e energia cinética ficarem na unidade certa na fómula de E ˙ s , m a s s a , precisamos dividir cada uma dessas parcelas por mil!

E ˙ s , m a s s a = 18,83 ⋅ 100 ⋅ 0,001043 + 417,33 + 2,5 2 2 / 1000 + 9,81 ⋅ 2 / 1000

E ˙ s , m a s s a = 7860,7   k W

W ˙ pode ser achado a partir da fórmula que criamos.

W ˙ = P ⋅ m ˙ e - m ˙ s ρ       ⟹       W ˙ = 100 ⋅ 0,3765 - 18,83 958,8       ⟹       W ˙ = - 1,925   k W

Por fim, d E d t vale:

d E d t = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

d E d t = 0 - - 1,925 + 157,2 - 7860,7

d E d t = - 7701,6   k W

Resposta

d E d t = - 7701,6   k W

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