Exercícios Resolvidos de Trabalho de Escoamento e Entalpia

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Enunciado

Água líquida saturada a 50   k P a entra em um tanque rígido com uma velocidade de 0,5   m / s através de uma tubulação com 0,05   m e a uma altura de 0,5   m em relação ao solo. A água recebe calor dentro do tanque a uma taxa de 200   k W . Ela sai do tanque como vapor saturado a mesma pressão da sua entrada, com uma velocidade de 20   m / s por um tubo com 0,15   m de diâmetro e a uma altura de 15   m em relação ao solo. Determine a taxa de variação da energia do tanque rígido.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o valor da taxa de variação da energia do tanque rígido d E d t . A figura abaixo mostra todos os dados que temos para calcular esse valor.

ν e é a velocidade da água entrando no tanque rígido por um tubo de diâmetro igual a D e a uma altura Z e do chão. P e é a pressão da água entrado no tanque rígido. ν s é a velocidade do vapor d’água saindo do tanque rígido por um tubo de diâmetro igual a D s a uma altura Z s do chão. P s é a pressão dessa água. Q ˙ é a taxa de calor que a água recebe.

No próximo passo, veremos qual fórmula é usada para calcular d E d t .

Passo 2

A fórmula da taxa de variação da energia do tanque se encontra abaixo. Ela é a primeira lei da termodinâmica aplicada ao volume de controle.

d E d t = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

onde E ˙ e , m a s s a é a taxa de energia que entra no tanque por causa de entrada de água, E ˙ s , m a s s a é a taxa de energia que sai no tanque por causa de saída de água e W ˙ é a taxa de trabalho que a água do tanque realiza.

As fórmulas de E ˙ e , m a s s a e E ˙ s , m a s s a encontram-se abaixo.

E ˙ e , m a s s a = m ˙ e ⋅ P e ⋅ v e + u e + ν e 2 2 + g ⋅ Z e

E ˙ s , m a s s a = m ˙ s ⋅ P s ⋅ v s + u s + ν s 2 2 + g ⋅ Z s

m ˙ e é a vazão mássica, v e é o volume específico e u e é a energia interna específica da água que entra no tanque.   m ˙ s é a vazão mássica, v s é o volume específico e u s é a energia interna específica do vapor d’água que sai do tanque. g é a aceleração da gravidade da Terra.

No próximo passo vamos aprender como encontrar os valores de alguns termos das fórmulas!

Passo 3

Os valores de v e , v s , u e e u s estão presentes na tabela de saturação. v e está na mesma linha que a pressão de 50   k P a e na mesma coluna que o volume específico v l . v s está na mesma linha que a pressão de 50   k P a e na mesma coluna que o volume específico v V .

u e está na mesma linha que a pressão de 50   k P a e na mesma coluna que a energia interna específica u l . u s está na mesma linha que a pressão de 50   k P a e na mesma coluna que a energia interna específica u V .

Vamos aprender a calcular m ˙ e e m ˙ s no passo seguinte!

Passo 4

m ˙ e e m ˙ s são calculadas por fórmulas muito parecidas! Os dois são igual à massa específica da água ρ multiplicada pela velocidade da água ν multiplicada pela área de passagem da água A . Esse área pode ser calculada através do diâmetro do tubo D pelo qual a água passa.

m ˙ e = ρ e ⋅ ν e ⋅ A e       ⟹       m ˙ e = ρ e ⋅ ν e ⋅ π ⋅ D e 2 4

m ˙ s = ρ s ⋅ ν s ⋅ A s       ⟹       m ˙ s = ρ s ⋅ ν s ⋅ π ⋅ D s 2 4

Além disso, as massas específicas são o inverso dos volumes específicos.

ρ e = 1 v e

ρ s = 1 v s

Agora só falta aprender a calcular W ˙ para poder iniciar as contas.

Passo 5

Na verdade, W ˙ não vai precisar ser calculado!

Como a água está dentro de um tanque rígido e ela está mudando de fase, ela sempre ocupa o mesmo volume. Isso quer dizer que a fronteira da água do tanque não se movimenta. Ou seja, não existe trabalho por movimento de fronteira nesse problema! Por conta disso:

W ˙ = 0   k W

Agora que aprendemos tudo isso, podemos começar a fazer as contas!

Passo 6

A primeira parte dos cálculos é de encontrar v e , v s , u e e u s na tabela de saturação. v e e u e são obtidos abaixo.

v e = 0,001030   m 3 k g

u e = 340,42   k J k g

v s e u s são obtidos abaixo.

v s = 3,24034   m 3 k g

u s = 2483,85   k J k g

No próximo passo, vamos calcular as vazões e E ˙ e , m a s s a .

Passo 7

Começamos os cálculos das vazões pelo cálculo das massas específicas.

ρ e = 1 v e       ⟹       ρ e = 1 0,001030       ⟹       ρ e = 970,8   k g m 3

ρ s = 1 v s       ⟹       ρ s = 1 3,24034       ⟹       ρ s = 0,3086   k g m 3

Com esses valores, podemos achas as vazões mássicas.

m ˙ e = ρ e ⋅ ν e ⋅ π ⋅ D e 2 4       ⟹       m ˙ e = 970,8 ⋅ 0,5 ⋅ π ⋅ 0 , 05 2 4       ⟹       m ˙ e = 0,9531   k g s

m ˙ s = ρ s ⋅ ν s ⋅ π ⋅ D s 2 4       ⟹       m ˙ s = 0,3086 ⋅ 20 ⋅ π ⋅ 0,15 2 4       ⟹       m ˙ s = 0,1091   k g s

Agora podemos encontrar E ˙ e , m a s s a e E ˙ s , m a s s a .

E ˙ e , m a s s a = m ˙ e ⋅ P e ⋅ v e + u e + ν e 2 2 + g ⋅ Z e

Cuidado! Para as parcelas de energia potencial e energia cinética ficarem na unidade certa na fómula de E ˙ e , m a s s a , precisamos dividir cada uma dessas parcelas por mil!

E ˙ e , m a s s a = 0,9531 ⋅ 50 ⋅ 0,001030 + 340,42 + 0,5 2 2 / 1000 + 9,81 ⋅ 0,5 / 1000

E ˙ e , m a s s a = 324,5   k W

Vamos partir para o cálculo de E ˙ s , m a s s a e da taxa de variação de energia do tanque d E m a s s a d t !

Passo 8

E ˙ s , m a s s a = m ˙ s ⋅ P s ⋅ v s + u s + ν s 2 2 + g ⋅ Z s

Cuidado! Para as parcelas de energia potencial e energia cinética ficarem na unidade certa na fómula de E ˙ s , m a s s a , precisamos dividir cada uma dessas parcelas por mil!

E ˙ s , m a s s a = 0,1091 ⋅ 50 ⋅ 3,24034 + 2483,85 + 20 2 2 / 1000 + 9,81 ⋅ 15 / 1000

E ˙ s , m a s s a = 288,7   k W

Por fim, d E d t vale:

d E d t = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

d E d t = 200 - 0 + 324,5 - 288,7

d E d t = 235,8   k W

Resposta

d E d t = 235,8   k W

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