Teoria

Fala aíííííí! Vamos começar os nossos estudos sobre os determinantes. Animados?!

Antes da gente aprender a calcular deixa eu te dar uma ideia do que são esses tais determinantes.

Quando a gente tem uma matriz, por exemplo, essa aqui de baixo:

A = 3 1 0 1 A gente pode fazer algumas manipulações com esses números que estão na nossa matriz ( 3,1 , 0,1 ) e obter um único número. Bem, o determinante é isso, vamos fazer alguma manipulação em específico (não é qualquer uma) com esses números que estão na nossa matriz e calcular um único número. Podemos até dizer que esse número serve para caracterizar a nossa matriz, é como se fosse um documento de identificação da nossa matriz.

Ele tem essa carinha daqui

det ⁡ A o u   │ 3 1 0 1 │

Pegou a ideia? Agora vamos ver aqui como que a gente calcula esses determinantes. Só um aviso, existem várias maneiras de se calcular determinantes de matrizes. Aqui eu vou mostrar as técnicas que funcionam para as matrizes 2 × 2 e 3 × 3 . Para matrizes maiores, vamos usar outras técnicas, ok?

Vamos lá!

Determinantes de matrizes 2 × 2

Vamos ver aqui como calculamos determinantes de matrizes com 2 linhas e 2 colunas. A regrinha que a gente usa é chamada de regra de Sarrus. Vamos aprender essa regrinha já aplicando para calcular o determinante da seguinte matriz

3 1 0 1

Para usarmos a regra de Sarrus nas matrizes deste tipo, temos que primeiro calcular o produto dos elementos da diagonal principal, ou seja, esses elementos dessa diagonal aqui:

Em que esse sinalzinho de mais nos fala que a gente não muda o sinal. Na nossa matriz, esse produto vai ser:

3 × 1 = 3

Guarda esse valor.

Para continuar, temos que calcular o produto dos elementos da diagonal secundária, ou seja, os elementos dessa diagonal aqui:

Em que eu botei aquele sinalzinho de menos para lembrar que nesse produto temos que trocar o sinal. Fazendo este produto, sem esquecer de por um sinal de menos na frente de tudo, temos

-   0 × 1 =   - 0 = 0

Beleza! Só para lembrar, o produto da diagonal principal deu 3 e o produto da diagonal secundária deu 0 . Que que a gente faz com eles?

A regra de Sarrus diz que o determinante da matriz vai ser a soma destes dois resultados:

d e t 3 1 0 1 = 3 + 0 = 3  

Viu como é bem direto? Uma dica: Desenhar essas flechinhas que eu desenhei, com o sinal de + na flecha que aponta para baixo e o sinal de – na flecha que aponta para cima ajuda bastante!

Determinantes de Matrizes 3 × 3

Para as matrizes com 3 linhas e 3 colunas, usamos a regra de Sarrus também! Ebaaa! Mas calma, tem uma coisa a mais vamos aprender isso juntos.Vamos calcular o determinante da matriz a seguir:

A = 1 - 3 1 - 1 2 1 2 - 1 0 Nestas matrizes, aquela dica de desenhar umas flechinhas na diagonal vai nos ajudar, mas antes de fazermos isso, vamos precisar fazer uma manipulação na nossa matriz.

A gente repete as duas colunas no final da nossa matriz. Dessa maneira aqui:

1 - 3 1 - 1 2 1 2 - 1 0 1 - 3 - 1 2 2 - 1 Agora sim a gente traça as flechas. As flechas para baixo a gente marca assim:

Vamos entender melhor o que a gente vai ter que calcular aqui. Bom, a gente vai ter que calcular o produto de todos os elementos em cada uma das diagonais e depois somar tudo. Só vamos lembrar que nas flechas para baixo a gente não troca o sinal de ninguém, hein.

Vamos lá, na primeira diagonal que eu marquei nós temos os números 1 ,   2 e o 0 , certo? Nós temos que calcular o produto entre eles:

1 × 2 × 0 = 0

Deu zero! Tudo bem, vamos para a segunda diagonal. Na segunda diagonal nós temos os números - 3 ,   1 e o 2. O produto entre eles é - 3 × 1 × 2 = - 3 × 2 =   - 6

Guarda esse - 6 aí!

Na última diagonal, temos os números 1 ,   - 1 e o - 1 . O produto entre eles fica

1 × ( - 1 ) × ( - 1 )

Lembrando que o produto de dois números negativos é positivo, temos

1 × - 1 × - 1 = 1 × 1 = 1

Agora a gente tem que somar os 3 resultados para as três diagonais:

0 + - 6 + 1 =   - 6 + 1 =   - 5

Opa!! Esse é o resultado das diagonais para baixo, guarda muito bem guardado esse número pois ele vai aparecer na regra de Sarrus!

Muito bem, agora vejamos as flechas para cima:

Com essas flechinhas para cima, aquele sinal de menos nos lembra que temos que trocar o sinal dos produtos! Vamos calcular termo a termo aqui para aprendermos.

Na primeira diagonal, nós temos os números 2 ,   2 e o 1. O produto entre eles é

2 × 2 × 1 = 4

Beleza? Não! Não esquece de trocar o sinal do produto, o resultado para essa diagonal é

- 4

Na segunda diagonal nós temos os números - 1 ,   1 e o 1 . O produto entre eles já com o sinal de menos na frente de tudo fica:

- - 1 × 1 × 1 =   - ( - 1 )

Como menos com menos dá mais, o resultado do produtos dos elementos dessa diagonal é:

1

Para a terceirda diagonal, temos os números 0 ,   - 1 e - 3 . Com isso, o produto entre eles, com o sinal trocado é - 0 × - 1 × - 3 =   - 0 = 0

Agora a gente soma esses três resultados: - 4 + 1 - 0 =   - 3

Prontinho, usando as flechas para cima, obtemos - 3 . Para finalizar o determinante, a regra de Sarrus nos fala que o determinante da matriz vai ser o resultado que a gente obteve usando as flechas para baixo mais o resultado que a gente obteve usando as flechas para cima:

d e t 1 - 3 1 - 1 2 1 2 - 1 0 = - 5 + - 3 d e t 1 - 3 1 - 1 2 1 2 - 1 0 =   - 5 - 3 =   - 8

Desta forma, obtemos o determinante das matrizes 3 × 3 . Oba!!!

Chegamos ao fim deste tópico ☹

Para você ficar fera em calcular esses determinantes a gente vai ter que praticar um pouco mais. Vamos fazer alguns exercícios?

Te vejo lá!!!! 😊

Determinantes de Matrizes 3 × 3

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

O determinante de M = 1 - 5 3 - 2 é igual a:

  1. 13
  2. - 10
  3. - 13
  4. - 17
  5. 10

Passo 1

Faaaaaaaala ai! Vamos fazer um exercício sobre determinante!!

A gente tem essa matriz aqui:

M = 1 - 5 3 - 2

Podemos usar a regra de Sarrus!

Se você não lembra como ela é, se liga aqui:Para matrizes 2x2, temos que:

d e t a b c d = a d - b c

Passo 2

Shooow de bola, agora que já relembramos como resolvemos isso, vamos sair da teoria e começar a praticar com os números do enunciado!

M = 1 - 5 3 - 2

d e t 1 - 5 3 - 2 = 1 ⋅ - 2 - - 5 ⋅ ( 3 )

Fazendo essas continhas, temos que

d e t 1 - 5 3 - 2 = - 2 - ( - 15 )

Ajeitando os sinais, ficamos com

d e t 1 - 5 3 - 2 = - 2 + 15

d e t 1 - 5 3 - 2 = 13

É isso galerinha! Vamos continuar praticando!

Resposta

  1. 13

Exercício Resolvido #2

Calcule o determinante:

cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Passo 1

Vamos usar a regra de Sarrus para matrizes de ordem 2 que é a seguinte:

d e t a b c d = a d - b c

Então, para a matriz do enunciado a gente faz:

cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ = cos ⁡ θ × cos ⁡ θ - ( sen ⁡ θ × - sen ⁡ θ ) = cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ

Passo 2

Agora é só lembrar que a Relação Fundamental da Trigonometria nos diz que:

cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 1

Assim, o determinante pedido dá 1 , independente do valor de θ .

Resposta

d e t = 1

Exercício Resolvido #3

Considere a matriz

P = 1 1 2 x

Encontre o valor de x para que o valor do determinante de P seja - 3

Passo 1

Faaala aí galerinha! Vamos fazer mais uma questão de determinantes!

Bom o nosso enunciado nos dá uma matriz 2 x 2   cujo determinante vale - 3 ! E temos que achar o valor de x , um elemento da matriz!

Temos que

det ⁡ P = - 3

P = 1 1 2 x

Passo 2

Vamos começar relembrando como a gente calcula o determinante de uma matriz 2 x 2

d e t a b c d = a d - b c

Para nossa matriz do enunciado, temos que

d e t 1 1 2 x = 1 ⋅ x - 1 ⋅ 2

det ⁡ P = x - 2

Passo 3

E o enunciado diz pra gente que

det ⁡ P = - 3

Então é só igualar os dois valores do determinante para achar x

x - 2 = - 3

Passando o - 2 para o outro lado e trocando o sinal dele, ficamos com

x = - 3 + 2

x = - 1

Resposta

x = - 1

Exercício Resolvido #4

Calcule o determinante a seguir, utilizando a regra de Sarrus

0 1 4 2 1 1 3 0 1

Passo 1

Opa, tudo certinho? Bora pra mais uma questão sobre determinantes!

Temos que a nossa matriz é essa daqui!

A = 0 1 4 2 1 1 3 0 1

O enunciado já diz pra gente usar a regra de Sarrus! Vamos lá

Passo 2

Para usar a regra de Sarrus nas matrizes 3 x 3 , temos que repetir as primeiras duas colunas da esquerda da nossa matriz

0 1 4 2 1 1 3 0 1   0 1 2 1 3 0

Passo 3

Segundo, vamos traçar linhas na diagonal principal e nas duas diagonais seguintes

Multiplicar os números que estão na mesma seta e atribuir a eles o sinal de mais +

0 ⋅ 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 2 ⋅ 0

Ajeitando isso, temos que

0 + 3 + 0

3

Passo 4

Depos vamos fazer a mesma coisa com a diagonal secundária e as duas seguintes

Multiplicando os números que estão na mesma seta e atribuindo a eles o sinal de

- 4 ⋅ 1 ⋅ 3 - 0 ⋅ 1 ⋅ 0 - 1 ⋅ 2 ⋅ 1

- 12 - 0 - 2

- 14

Passo 5

Por ultimo é só somar e achar o determinante!

det ⁡ A = 3 - 14

det ⁡ A = - 11

Resposta

det ⁡ A = - 11

Exercício Resolvido #5

Uma das aplicações que envolvem o cálculo de determinantes de uma matriz de ordem 3 é o cálculo de volume dos vetores escritos na forma matricial. A partir deste cálculo, principalmente na engenharia, podemos projetar a quantidade de material necessário na confecção de peças em geral. Na perspectiva, retomando o processo de cálculo, leia a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA det ⁡ A , sendo A = 2 - 1 4 3 2 1 1 - 2 3

  1. det ⁡ A = 12
  2. det ⁡ A = 8
  3. det ⁡ A = - 12
  4. det ⁡ A = - 8

Passo 1

Opaaa! Tudo certinho? Vamos pra mais uma questão de determinantes!

Temos que a nossa matriz é essa daqui!

A = 2 - 1 4 3 2 1 1 - 2 3

Para acharmos o determinante de uma matriz, 3x3 existem vários métodos. O que vamos usar aqui é o mais famoso, o método de Sarrus!

Passo 2

Primeiro, vamos repetir as primeiras duas colunas da esquerda

2 - 1 4 3 2 1 1 - 2 3 2 - 1 3 2 1 - 2

Passo 3

Segundo, vamos traçar linhas na diagonal principal e nas duas diagonais seguintes

Multiplicar os números que estão na mesma seta e atribuir a eles o sinal de mais +

2 ⋅ 2 ⋅ 3 + - 1 ⋅ 1 ⋅ 1 + 4 ⋅ 3 ⋅ - 2

Ajeitando isso, temos que

12 - 1 - 24

=   - 13

Passo 4

Depos vamos fazer a mesma coisa com a diagonal secundária e as duas seguintes

Multiplicando os números que estão na mesma seta e atribuindo a eles o sinal de

- 4 ⋅ 2 ⋅ 1 - 2 ⋅ 1 ⋅ - 2 - - 1 ⋅ 3 ⋅ 3

=   - 8 - - 4 - - 9

=   - 8 + 4 + 9

=   5

Passo 5

Por ultimo é só somar e achar o determinante!

det ⁡ A = - 13 + 5

det ⁡ A = - 8

Bora continuar praticando!

Resposta

  1. - 8

Exercício Resolvido #6

Encontre o valor de   a na matriz abaixo, sabendo que o determinante det ⁡ A = - 11

M = 1 4 2 3 5 1 0 a 3

Passo 1

Faala ai galerinha, vamos partir pra cima de mais uma questão de determinantes!

Bom, o enunciado diz pra gente que o determinante vale - 11 , ou seja

det ⁡ M = - 11

E ele quer descobrir o valor de a

Vamos usar o método de Sarrus! Se liga aqui como a gente vai resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos repetir as primeiras duas colunas da esquerda

1 4 2 3 5 1 0 a 3   1 4 3 5 0 a

Passo 3

Segundo, vamos traçar linhas na diagonal principal e nas duas diagonais seguintes

Multiplicar os números que estão na mesma seta e atribuir a eles o sinal de mais +

1 ⋅ 5 ⋅ 3 + 4 ⋅ 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 3 ⋅ a

Realizando esses produtos, temos

15 + 0 + 6 a

=   6 a + 15

Passo 4

Depos vamos fazer a mesma coisa com a diagonal secundária e as duas seguintes

Multiplicando os números que estão na mesma seta e atribuindo a eles o sinal de

- 2 ⋅ 5 ⋅ 0 - 1 ⋅ 1 ⋅ a - 4 ⋅ 3 ⋅ 3

= - 0 - a - 36

= - a - 36

Passo 5

Por ultimo é só somar tudo e achar o determinante!

det ⁡ M = 6 a + 15 - a - 36

det ⁡ M = 5 a - 21

Passo 6

Mas o enunciado diz que

det ⁡ M = - 11

Então, temos que

- 11 = 5 a - 21

5 a = 10

a = 2

Resposta

a = 2

Exercício Resolvido #7

Calcule o determinante da matriz

C = 1 1 0 - 3 - 1 1 3 4 - 1

Passo 1

Faaala aí!! Vamos seguir com nossos exercícios de determinantes! Essa matéria é muita prática para ficar fera!

Temos que a nossa matriz é essa daqui!

C = 1 1 0 - 3 - 1 1 3 4 - 1

Vamos usar o método de Sarrus!

Passo 2

Primeiro, vamos repetir as primeiras duas colunas da esquerda

1 1 0 - 3 - 1 1 3 4 - 1   1 1 - 3 - 1 3 4

Passo 3

Segundo, vamos traçar linhas na diagonal principal e nas duas diagonais seguintes

Multiplicar os números que estão na mesma seta e atribuir a eles o sinal de mais +

1 ⋅ - 1 ⋅ - 1 + 1 ⋅ 1 ⋅ 3 + 0 ⋅ ( - 3 ) ⋅ 4

Ajeitando isso, temos que

1 + 3 + 0

= 4

Passo 4

Depos vamos fazer a mesma coisa com a diagonal secundária e as duas seguintes

Multiplicando os números que estão na mesma seta e atribuindo a eles o sinal de

- 0 ⋅ - 1 ⋅ 3 - 1 ⋅ 1 ⋅ 4 - 1 ⋅ - 3 ⋅ - 1

= - 0 - 4 - 3

= - 7

Passo 5

Por ultimo é só somar e achar o determinante!

det ⁡ C = 4 - 7

det ⁡ C = - 3

Bora continuar praticando!

Resposta

det ⁡ C = - 3

Exercício Resolvido #8

Encontre a solução da equação

x 3 1 1 4 5 x - 2 3 = 55

Passo 1

Faaaaaala aí! Preparados para mais uma questão de determinantes? Vamos lá!O enunciado dá pra gente o valor do determinante da matriz, que vamos chamar de D

det ⁡ D = 55

E temos que a matriz é essa daqui!

D = x 3 1 1 4 5 x - 2 3

Para calcularmos o determinante, vamos utilizar o método de Sarrus.

Passo 2

Primeiro, vamos repetir as primeiras duas colunas da esquerda

x 3 1 1 4 5 x - 2 3   x 3 1 4 x - 2

Passo 3

Segundo, vamos traçar linhas na diagonal principal e nas duas diagonais seguintes

Multiplicar os números que estão na mesma seta e atribuir a eles o sinal de mais +

x ⋅ 4 ⋅ 3 + 3 ⋅ 5 ⋅ x + 1 ⋅ 1 ⋅ - 2

Ajeitando isso, temos que

12 x + 15 x - 2

27 x - 2

Passo 4

Depos vamos fazer a mesma coisa com a diagonal secundária e as duas seguintes

Multiplicando os números que estão na mesma seta e atribuindo a eles o sinal de

- 1 ⋅ 4 ⋅ x - x ⋅ 5 ⋅ - 2 - 3 ⋅ 1 ⋅ 3

- 4 x - - 10 x - 9

- 4 x + 10 x - 9

6 x - 9

Passo 5

Por ultimo é só somar e achar o determinante!

det ⁡ D = 27 x - 2 + 6 x - 9

det ⁡ D = 33 x - 11

Passo 6

Como o enunciado diz pra gente que o det ⁡ D = 55 , temos que

33 x - 1 1 = 55

33 x = 55 + 11

33 x = 66

Passando o 33   que está multiplicando, dividindo, ficamos com

x = 2

Resposta

x = 2

Exercício Resolvido #9

Calcule o valor de x , a fim de que o determinante da matriz A seja nulo

A = 1 2 1 4 9 4 6 x x - 7

  1. 10
  2. 13
  3. 15
  4. 18
  5. 11

Passo 1

Faaaaala aí, beleza? Vamo que vamo para cima de mais um determinante!

Temos que a nossa matriz é essa daqui!

A = 1 2 1 4 9 4 6 x x - 7

Para acharmos o determinante de uma matriz, 3x3 existem vários métodos. O que vamos usar aqui é o mais famoso, o método de Sarrus!

Passo 2

Primeiro, vamos repetir as primeiras duas colunas da esquerda

1 2 1 4 9 4 6 x x - 7 1 2 4 9 6 x

Passo 3

Segundo, vamos traçar linhas na diagonal principal e nas duas diagonais seguintes

Multiplicar os números que estão na mesma seta e atribuir a eles o sinal de mais +

1 ⋅ 9 ⋅ x - 7 + 2 ⋅ 4 ⋅ 6 + 1 ⋅ 4 ⋅ x

Ajeitando isso, temos que

9 x - 63 + 48 + 4 x

= 13 x - 15

Passo 4

Depos vamos fazer a mesma coisa com a diagonal secundária e as duas seguintes

Multiplicando os números que estão na mesma seta e atribuindo a eles o sinal de

- 1 ⋅ 9 ⋅ 6 - 1 ⋅ 4 ⋅ x - 2 ⋅ 4 ⋅ x - 7

= - 54 - 4 x - 8 x + 56

= - 12 x + 2

Passo 5

Por ultimo é só somar e achar o determinante!

det ⁡ A = 13 x - 15 - 12 x + 2

det ⁡ A = x - 13

Passo 6

Como o enunciado diz pra gente que o det ⁡ A = 0 , temos que

x - 13 = 0

x = 13

Resposta

b) 13

Exercício Resolvido #10

Dadas as matrizes A = - 1 2 0 1 e B = 2 - 1 - 2 0 , calcular o determinante da matriz C onde C = A B

Passo 1

Faaala galerinha! Vamo que vamo pra mais uma questãozinha de determinantes! Ihuuu

Bom a questão pede o determinante da matriz C que é o produto das matrizes A e B dadas no enunciado

“Putsss mas eu não lembro como fazer multiplicação de matrizes” Não precisa se preocupar! Porque a gente tem uma propriedade de determinante que diz:“O determinante do produto é o produto dos determinantes”

d e t A ⋅ B = d e t A × d e t B

Então só precisamos calcular os determinantes das matrizes A   e   B

E só relembrando aqui, quando temos uma matriz 2 x 2 , utilizamos essa regrinha aqui para calcular o determinante:

d e t a b c d = a d - b c

Passo 2

Vamos começar calculando o determinante da matriz A

det ⁡ - 1 2 0 1 = - 1 ⋅ 1 - 2 ⋅ 0

Fazendo as multiplicações, temos:

d e t - 1 2 0 1 = - 1 - 0 = - 1

Então

det ⁡ A = - 1

Passo 3

Agora para a matriz B , temos

det ⁡ 2 - 1 - 2 0 = 2 ⋅ 0 - - 1 ⋅ - 2

Fazendo as multiplicações, temos:

d e t - 1 2 0 1 = 0 - 2 = - 2

Então

det ⁡ B = - 2

Passo 4

Agora é só fazer o produto dos valores que achamos:

det ⁡ C = det ⁡ A × det ⁡ B

Substituindo, temos

det ⁡ C = - 1 × - 2

det ⁡ C = 2

Resposta

det ⁡ C = 2