Expressão Analítica de uma TL

Teoria Completa

Como construir uma T L ?

Desde que nos entendemos por gente, trabalhamos com funções. A gente aprendeu desde cedo a montar a equação da reta e da parábola a partir de certos valores. Para uma Transformação Linear não é diferente!

Acredito que você já deve ter se perguntado como podemos achar a fórmula dela??? Ou não tenha se perguntado, porque ninguém normal fica se questionando esse tipo de coisa, haha. Mas, enfim, vamos ver um exemplo abaixo:

Seja a transformação T dada por:

T : R 2 ⟶ R 3

T x , y = ( 2 x - y ,   x - 2 y ,   x + 2 y )

Como podemos achar a fórmula acima, sabendo apenas que:

T 1,0 = ( 2,1 , 1 )

T 1,1 = ( 1 , - 1,3 )

Obs: Perceba que sempre temos que receber uma informação antes, para poder montar a nossa T L .

Passo 1: Veja que os elementos do domínio informados (os que ficam dentro de T ( … ) ), formam uma base para o nosso domínio! Então vamos chamar de β uma base do R 2 .

β = { 1,0 , 1,1 }

Passo 2: Se β é uma base de R 2 , podemos escrever qualquer vetor do R 2 como uma C L dos vetores dessa base.

x , y = a 1,0 + b 1,1   ( I )

Passo 3: Mas nós não queremos achar quem é ( x , y ) e sim quem é T ( x , y ) , pois este nos fornece a fórmula. Então vamos aplicar T de ambos os lados:

T x , y = T ( a 1,0 + b ( 1,1 ) )

Como T é linear, nós podemos separar essa soma:

T x , y = T a 1,0 + T b 1,1

E também é possível botar o escalar real para fora.

T x , y = a T 1,0 + b T ( 1,1 )

Passo 4: Ahhh, agora ficou mais fácil! Por sabermos quanto vale T ( 1,0 ) e T ( 1,1 ) ! Então aplicando as informações do enunciado:

T x , y = a 2,1 , 1 + b 1 , - 1,3   ( I I )

Passo 5: Repare que a fórmula da nossa transformação ainda não está pronta! Precisamos achar quem são a e b . Para isso, vamos voltar à nossa equação ( I ) :

x , y = a 1,0 + b ( 1,1 )

Com esta equação podemos achar quanto valem a e b em função de x e y . Assim sendo, vamos desenvolver a equação:

x , y = a + b , b ∴

x = a + b ⇒ a = x - y y = b ⇒ b = y

Passo 6: Voltando para a equação ( I I ) :

T x , y = x - y 2,1 , 1 + y 1 , - 1,3 ⇒

T x , y = 2 x - 2 y + y , x - y - y , x - y + 3 y ⇒

T x , y = ( 2 x - y , x - 2 y , x + 2 y )

Repare que só conseguimos fazer isso porque tínhamos a imagem dos vetores de uma base do nosso domínio (lembre-se que existe mais de uma base para um conjunto). Ou melhor, a gente sabia quem era T aplicado em cada um dos vetores da base do nosso domínio.

Sem essas informações não é possível construir uma T L !

Resumindo:

  1. Monte uma base para o seu domínio: os que ficam dentro da T … ⏟ e s s e   a q u i = …
  2. Faça uma C L de um vetor genérico do domínio com os vetores da base formada.
  3. Aplique T dos dois lados. E vá usando o fato de T ser linear para ir “abrindo” a C L da base formada, até chegar a termos que você possui informação.
  4. Use as informações dadas no problema; por exemplo, T 1,0 = ( 2,1 , 1 ) .
  5. Ainda falta você escrever as coordenadas do vetor genérico na base escolhida, em função das coordenadas do próprio vetor genérico ( x , y … , w ) e substituir na sua T .
  6. Agora você terá a imagem de um vetor genérico em função de vetores que pertencem ao contradomínio, ou seja, a expressão de T . :D

Observe que com essas informações, você acha uma única expressão para a sua transformação! Assim, se você tiver uma base para o seu domínio, e T aplicado em cada um dos vetores da base, só existe uma única transformação que satisfaz isso!

Obs: Note que a gente não definiu uma base para o contradomínio! Apenas para o domínio!

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Exercício Resolvido #1

Lista 3 de Monitoria Álgebra Linear I para a p2, exercício 1-b), 2015.1, PUC-RIO.

Sabendo que

T 1,0 , 0 = - 2,0 , 0

T 1,1 , 0 = 3,3 , 0

T 0,1 , 1 = ( 0 , - 1 , - 1 )

Calcule T ( x , y , z ) .

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Passo 1

Bom, a primeira coisa a se fazer é verificar se o conjunto dos vetores { 1 , 0,0 , 1,1 , 0 , 0,1 , 1 } é L I .

Podemos ver isso pelo lugar onde os zeros se encontram, e com isso fica fácil de perceber que nenhum dos vetores ou C L de dois vetores consegue gerar o terceiro.

Tá, mas vamos ao que interessa: começar a montar a nossa T !

Passo 2

Vamos fazer uma C L de um vetor genérico com a base β = 1 , 0,0 , 1,1 , 0 , 0,1 , 1 do R 3 .

x , y , z = a 1,0 , 0 + b 1,1 , 0 + c ( 0,1 , 1 )

Aplicando T dos dois lados:

T x , y , z = T ( a 1,0 , 0 + b 1,1 , 0 + c 0,1 , 1 )

Devido à T ser linear, podemos reescrever a equação como:

T x , y , z = a T 1,0 , 0 + b T 1,1 , 0 + c T 0,1 , 1       ( I )

Passo 3

Agora vamos aplicar as informações do nosso enunciado!

T 1,0 , 0 = - 2,0 , 0

T 1,1 , 0 = 3,3 , 0

T 0,1 , 1 = ( 0 , - 1 , - 1 )

Substituindo em I :

T x , y , z = a - 2,0 , 0 + b 3,3 , 0 + c 0 , - 1 , - 1     ( I I )

Passo 4

Ainda falta achar quem são a , b , c em função de x , y , z .

x , y , z = a 1,0 , 0 + b 1,1 , 0 + c ( 0,1 , 1 )

x , y , z = ( a + b , b + c , c )

x = a + b ⇒ a = x - y + z y = b + c ⇒ b = y - z c = z

Passo 5

Agora que achamos os valores que queríamos para a , b , c , vamos substituir na nossa equação ( I I ) :

T x , y , z = x - y + z - 2,0 , 0 + y - z 3,3 , 0 + z 0 , - 1 , - 1 ⇒

T x , y , z = - 2 x + 2 y - 2 z , 0,0 ) + ( 3 y - 3 z , 3 y - 3 z , 0 ) + ( 0 , - z , - z ⇒

T x , y , z = - 2 x + 2 y - 2 z + 3 y - 3 z , 3 y - 3 z - z , - z ⇒

T x , y , z = ( - 2 x + 5 y - 5 z , 3 y - 4 z , - z )

Resposta

T x , y , z = ( - 2 x + 5 y - 5 z , 3 y - 4 z , - z )

Exercício Resolvido #2

Lista 1 de Álgebra Linear I para a p2, exercício 9, 2015.1, PUC-RIO.

Encontre uma expressão analítica de uma transformação linear T : R 3 ⟶ R 4 tal que a imagem de T seja gerada pelos vetores ( 1 , 2,0 , - 4 ) e ( 2,0 , - 1 , - 3 ) . A transformação linear encontrada é a única que satisfaz a condição dada no exercício?

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Passo 1

Tá, ele quer uma transformação que vá do R 3 para o R 4 e que tenha como imagem o espaço gerado por ( 1 , 2,0 , - 4 ) e ( 2,0 , - 1 , - 3 ) . Para “criarmos uma T L ” precisamos da T L aplicada em uma base do domínio. Mas ele não deu mais nenhuma condição pra gente, então vamos fazer o seguinte:

T 1,0 , 0 = 1,2 , 0 , - 4

T 0,1 , 0 = 2,0 , - 1 , - 3

T 0,0 , 1 = 0,0 , 0 , 0

Agora vamos aplicar a nossa fórmula de bolo:

x , y , z = x 1,0 , 0 + y 0,1 , 0 + z 0,0 , 1

T x , y , z = T x 1,0 , 0 + y 0,1 , 0 + z 0,0 , 1

T x , y , z = x T 1,0 , 0 + y T 0,1 , 0 + z T 0,0 , 1

T x , y , z = x 1,2 , 0 , - 4 + y 2,0 , - 1 , - 3

T x , y , z = x + 2 y , 2 x , - y , - 4 x - 3 y

E pronto, temos uma T L com a imagem que o enunciado pediu.

Passo 2

Agora que montamos uma expressão para T , será que ela é a única possível??

Não!! Fica fácil de ver, se lembrarmos do jeito que construímos a T . Veja que tivemos que chutar uma base para o nosso domínio, porém poderíamos ter escolhido outros vetores para a base, que conseguiriam satisfazer as mesmas condições do exercício! Escolhemos esses pra facilitar nossa vida mesmo!

Passo 3

De fato, poderíamos ter respondido à segunda pergunta com o teorema da unicidade da transformação linear, que diz que é preciso ter uma base, e a imagem de cada um dos vetores da base, para a transformação ser única! Se não tiver as condições do teorema, a transformação não é única.