Matriz que Representa uma TL

Teoria Completa

Introdução

Repete comigo:

Toda T L é uma matriz! Toda matriz é uma T L !

Agora continua repetindo até nunca mais esquecer isso!

Foi? Então podemos continuar haha. A primeira coisa que vamos fazer é descobrir como montar a matriz associada à uma T L qualquer.

Para podermos fazer isso, usaremos muito o conceito de base, então você precisa ter esse conceito bem dominado! Vamos relembrar o que é uma base:

O conjunto ordenado β = v 1 , … , v n ⊂ V é uma base de V se:

  • s p a n v 1 , … , v n = V
  • v 1 , … , v n é L I

Lembre-se que base é um conjunto ordenado! Ou seja, a ordem dos elementos importa!

Matrizes que Representam TL’s

Vamos começar com um exemplo que é o melhor jeito de se aprender álgebra haha. Olhem essa transformação aqui:

T : R 2 ⟶ R 3

T x , y = ( 2 x - y ,   x - 2 y ,   x + 2 y )

O procedimento é bem simples.

Passo 1: Aplicamos a T L nos vetores da base canônica 1,0 , 0,1 do domínio R 2 :

T 1,0 = 2,1 , 1

T 0,1 = - 1 , - 2,2

Passo 2: Jogamos esses vetores nas colunas de uma matriz respeitando a ordem da base.

2 - 1 1 - 2 1 2

Se preferir pode também “desmembrar” a fórmula da T L :

T x , y = 2 x - y x - 2 y x + 2 y = 2 - 1 1 - 2 1 2 x y

Moleza né? Calma que não acabou haha. Vamos deixar as coisas mais interessantes agora:

Matriz Representação em Bases Arbitrárias

Nesse exemplo usamos as bases canônicas do domínio e do contra domínio da transformação para gerar a matriz. Mas e se quiséssemos usar uma outra base qualquer? Ou melhor, se o exercício nos impusesse uma base para usarmos, como ficaria??

Vamos usar o mesmo exemplo anterior, mas dessa vez vamos usar bases diferentes das canônicas no domínio e no contra domínio.

T : R 2 ⟶ R 3

T x , y = ( 2 x - y ,   x - 2 y ,   x + 2 y )

Passo 1: Fixar uma base para o domínio e para o contra domínio:

Seja α uma base para o domínio R 2 :

α = 1,0 , 1,1

E seja β uma base para o contra domínio R 3 :

β = 1,0 , 0 , 0,1 , 1 , 0,0 , 1

Passo 2: Aplicar a transformação nos vetores da base do domínio:

T 1,0 = ( 2,1 , 1 )

T 1,1 = ( 1 , - 1,3 )

Passo 3: Escrevemos esses vetores nas coordenadas da base β do contra domínio.

T 1,0 = 2,1 , 1 = a 1 1,0 , 0 + b 1 0,1 , 1 + c 1 0,0 , 1 ⇒

2,1 , 1 = a 1 , b 1 , b 1 + c 1 ⇒

a 1 = 2 b 1 = 1 b 1 + c 1 = 1 ⇒ c 1 = 0

Portanto:

2,1 , 1 = 2 1,0 , 0 + 1 0,1 , 1 + 0 0,0 , 1

2,1 , 1 β = 2,1 , 0

Fazendo a mesma conta para T 1,1 = ( 1 , - 1,3 ) :

T 1,1 = 1 , - 1,3 = a 2 1,0 , 0 + b 2 0,1 , 1 + c 2 0,0 , 1 ⇒

1 , - 1,3 = a 2 , b 2 , b 2 + c 2 ⇒

a 2 = 1 b 2 = - 1 b 2 + c 2 = 3 ⇒ c 2 = 4

Portanto:

1 , - 1,3 = 1 1,0 , 0 - 1 0,1 , 1 + 4 0,0 , 1

1 , - 1,3 β = 1 , - 1,4

Passo 5: Agora é só jogarmos esses vetores que encontramos nas colunas de uma matriz:

2 1 1 - 1 0 4

E voilà, temos a matriz que representa nossa T L !

Sendo assim, podemos interpretar que T leva o vetor ( x , y ) na base canônica em ( 2 x - y ,   x - 2 y ,   x + 2 y ) , enquanto a matriz 2 1 1 - 1 0 4 leva as coordenadas de ( x , y ) na base α para as coordenadas de T ( x , y ) na base β .

Se chamarmos x , y = u e 2 1 1 - 1 0 4 = T β ⟵ α , podemos esquematizar a relação matricial acima como:

T u β = T β ⟵ α ∙ u α

Assim, chamamos a matriz 2 1 1 - 1 0 4 = T β ⟵ α de matriz de representação de T , nas bases α e β .

Notação: Quando temos uma T L com mesmo domínio e contradomínio T : U ⟶ U , ambos possuem a mesma base, já que são iguais. Então se α é uma base do domínio, também é do contradomínio. Então podemos denotar a matriz que representa T como:

T α ⟵ α = T α

Mas cuidado! Uma coisa que muitas pessoas confundem é que T α = T u α ! Mas não caia neste erro! Uma notação é diferente da outra!

Repare que se, por exemplo, tivermos T : R 3 ⟶ R 3 , a matriz T α seria uma matriz 3 × 3 !

Já a matriz T u α será sempre uma matriz coluna! Por quê??? Pelo simples fato de T u α ser as coordenadas do vetor T ( u ) na base α . (Lembre-se da definição!)

Portanto, lembre-se que:

T β ≠ T u β

Resumindo

Como eu falei muita coisa já, vou dar uma resumida pra ajudar vocês. Para montar uma matriz que representa uma T L em duas bases, basta que você:

Passo 1: Tenha uma base definida para o domínio e para o contra domínio.

Passo 2: Aplique T em cada um dos vetores da base do domínio.

Passo 3: Pegue cada um dos resultados, e escreva nas coordenadas da base do seu contra domínio.

Passo 4: Bote esses vetores obtidos no Passo 3 como colunas em uma matriz, seguindo a ordem da base que você definiu para o domínio!

Dica: Se você não reparou ainda, vai reparar agora: genericamente, se temos T : U ⟶ V , sabemos que a matriz T β ⟵ α terá sempre dimensões

dim ⁡ V × d i m ⁡ ( U )

Ou seja, n ú m e r o   d e   c o l u n a s = dim ⁡ D o m T e n ú m e r o   d e   l i n h a s = dim ⁡ C D o m T

Ta, mas qual é a vantagem de representar a T L como uma matriz? Bom,por exemplo, se você pegar a representação de uma matriz na base canônica, pode achar a imagem e o núcleo da T L pela matriz!

Outro resultado interessante é que podemos determinar a dimensão do núcleo e da imagem de uma transformação linear através da dimensão do núcleo e da imagem de uma matriz que a represente em bases quaisquer do contra domínio e do domínio.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 216. – 27

Consideremos a transformação linear T : R 3 → R 2 definida por T x , y , z = 2 x + y - z , x + 2 y e as bases A = 1,0 , 0 , 2 , - 1,0 , 0,1 , 1 do R 3 e B = - 1,1 , 0,1 do R 2 . Determinar a matriz T B A

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, antes de começarmos, caso você esteja implicando com a notação (eu sei como é, irrita quando não aparece do jeito que você aprendeu), T B A = T B ← A .

Agora podemos começar. Bom, as bases do domínio e do contra domínio já foram fixadas:

A = 1,0 , 0 , 2 , - 1,0 , 0,1 , 1

B = - 1,1 , 0,1

Passo 2

Aplicamos a transformação nos vetores da base A do domínio:

T 1,0 , 0 = 2,1

T 2 , - 1,0 = 4 - 1,2 - 2 = 3,0

T 0,1 , 1 = 0,2

Passo 3

Escrevemos esses vetores na base B do contra domínio.

2,1 = - 2 - 1,1 + 3 0,1

3,0 = - 3 - 1,1 + 3 0,1

0,2 = 0 - 1,1 + 2 0,1

Portanto,

2,1 B = - 2,3

3,0 B = - 3,3

0,2 B = 0,2

Passo 4

Montamos uma matriz com os vetores que achamos como colunas:

T B A = - 2 - 3 0 3 3 2

Resposta

T B A = - 2 - 3 0 3 3 2

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 216. – 28

Seja a transformação linear T : R 2 → R 3 , T x , y = 2 x - y , x + 3 y , - 2 y e as bases A = - 1,1 , 2,1 e B = 0,0 , 1 , 0,1 , - 1 , 1,1 , 0