Matriz que Representa uma TL

Teoria Completa

Introdução

Repete comigo:

Toda T L é uma matriz! Toda matriz é uma T L !

Agora continua repetindo até nunca mais esquecer isso!

Foi? Então podemos continuar haha.

Ok, mas qual é a vantagem de representar a T L como uma matriz? Bom, por exemplo, se você pegar a representação de uma matriz na base canônica, pode achar a imagem e o núcleo da T L pela matriz!

Outro resultado interessante é que podemos determinar a dimensão do núcleo e da imagem de uma transformação linear através da dimensão do núcleo e da imagem de uma matriz que a represente em bases quaisquer do contra domínio e do domínio.

Ou seja será muito útil saber representar uma TL na forma de matriz!

A primeira coisa que vamos fazer é descobrir como montar a matriz associada à uma T L qualquer.

Para podermos fazer isso, usaremos muito o conceito de base, então você precisa ter esse conceito bem dominado! Vamos relembrar o que é uma base:

O conjunto ordenado β = v 1 , … , v n ⊂ V é uma base de V se:

  • s p a n v 1 , … , v n = V
  • v 1 , … , v n é L I

Lembre-se que base é um conjunto ordenado! Ou seja, a ordem dos elementos importa!

Matrizes que Representam TL’s (Base Canônica)

Para transformar uma transformação linear em uma matriz precisamos de uma base. Vamos trabalhar com as bases canônicas primeiro!

Vamos com um passo a passo de como encontrar a matriz que representa a seguinte transformação:

T : R 2 ⟶ R 3

T x , y = ( 2 x - y ,   x - 2 y ,   x + 2 y )

O procedimento é bem simples.

Passo 1: Aplicamos a T L nos vetores da base canônica 1,0 , 0,1 do domínio R 2 :

T 1,0 = ( 2 * 1 - 0 ,   1 - 2 * 0 ,   1 + 2 * 0 ) = 2,1 , 1

T 0,1 = ( 2 * 0 - 1 ,   0 - 2 * 1 ,   0 + 2 * 1 ) = - 1 , - 2,2

Passo 2: Jogamos esses vetores nas colunas de uma matriz respeitando a ordem da base.

2 - 1 1 - 2 1 2

Prontinho! Já temos nossa Matriz que representa T ! Moleza né?

Se preferir podemos também “desmembrar” a fórmula da T L :

T x , y = 2 x - y x - 2 y x + 2 y = 2 - 1 1 - 2 1 2 x y

Beleza?! Calma que não acabou haha. Vamos deixar as coisas mais interessantes agora:

Matriz Representação em Bases Arbitrárias

Nesse exemplo usamos as bases canônicas do domínio e do contra domínio da transformação para gerar a matriz. Mas e se quiséssemos usar uma outra base qualquer? Ou melhor, se o exercício nos impusesse uma base para usarmos, como ficaria??

Vamos usar o mesmo exemplo anterior, mas dessa vez vamos usar bases diferentes das canônicas no domínio e no contra domínio.

T : R 2 ⟶ R 3

T x , y = ( 2 x - y ,   x - 2 y ,   x + 2 y )

Passo 1: Fixar uma base para o domínio e para o contra domínio:

Seja α uma base para o domínio R 2 :

α = 1,0 , 1,1

E seja β uma base para o contra domínio R 3 :

β = 1,0 , 0 , 0,1 , 1 , 0,0 , 1

Passo 2: Aplicar a transformação nos vetores da base do domínio:

T 1,0 = ( 2 * 1 - 0 ,   1 - 2 * 0 ,   1 + 2 * 0 ) = ( 2,1 , 1 )

T 1,1 = ( 2 * 1 - 1 ,   1 - 2 * 1 ,   1 + 2 * 1 ) = ( 1 , - 1,3 )

Passo 3: Escrevemos esses vetores nas coordenadas da base β do contra domínio.

T 1,0 = 2,1 , 1

T 1,0 = a 1 1,0 , 0 + b 1 0,1 , 1 + c 1 0,0 , 1

2,1 , 1 = a 1 1,0 , 0 + b 1 0,1 , 1 + c 1 0,0 , 1

2,1 , 1 = a 1 , b 1 , b 1 + c 1

a 1 = 2 b 1 = 1 b 1 + c 1 = 1 ⇒ c 1 = 0

Portanto:

2,1 , 1 = 2 1,0 , 0 + 1 0,1 , 1 + 0 0,0 , 1

2,1 , 1 β = 2,1 , 0

Fazendo a mesma conta para T 1,1 = ( 1 , - 1,3 ) :

T 1,1 = 1 , - 1,3 = a 2 1,0 , 0 + b 2 0,1 , 1 + c 2 0,0 , 1

1 , - 1,3 = a 2 , b 2 , b 2 + c 2

a 2 = 1 b 2 = - 1 b 2 + c 2 = 3 ⇒ c 2 = 4

Portanto:

1 , - 1,3 = 1 1,0 , 0 - 1 0,1 , 1 + 4 0,0 , 1

1 , - 1,3 β = 1 , - 1 , 4

Passo 5: Agora é só jogarmos esses vetores que encontramos nas colunas de uma matriz:

2 1 1 - 1 0 4

E voilà, temos a matriz que representa nossa T L !

Definição

Vamos dar uma olhada na definição formal:

No nosso exemplo anterior temos que:

T β ⟵ α = 2 1 1 - 1 1 3

Sendo assim, podemos interpretar que T leva o vetor ( x , y ) na base canônica em ( 2 x - y ,   x - 2 y ,   x + 2 y ) , enquanto a matriz 2 1 1 - 1 1 3 leva as coordenadas de ( x , y ) na base α para as coordenadas de T ( x , y ) na base β .

Se chamarmos x , y = u e T β ⟵ α = 2 1 1 - 1 1 3 , podemos esquematizar a relação matricial acima como:

T u β = T β ⟵ α ∙ u α

Notação: Quando temos uma T L com mesmo domínio e contradomínio T : U ⟶ U , ambos possuem a mesma base, já que são iguais. Então se α é uma base do domínio, também é do contradomínio. Então podemos denotar a matriz que representa T como:

T α ⟵ α = T α

Mas cuidado! Uma coisa que muitas pessoas confundem é que T α = T u α ! Mas não caia neste erro! Uma notação é diferente da outra!

Repare que se, por exemplo, tivermos T : R 3 ⟶ R 3 , a matriz T α seria uma matriz 3 × 3 !

Já a matriz T u α será sempre uma matriz coluna! Por quê??? Porque T u α ser as coordenadas do vetor T ( u ) na base α . (Lembre-se da definição!)

Portanto, lembre-se que:

T β ≠ T u β

Resumindo

Como eu falei muita coisa já, vou dar uma resumida pra ajudar vocês. Para montar uma matriz que representa uma T L em duas bases, basta que você:

Passo 1: Tenha uma base definida para o domínio e para o contra domínio.

Passo 2: Aplique T em cada um dos vetores da base do domínio.

Passo 3: Pegue cada um dos resultados, e escreva nas coordenadas da base do seu contra domínio.

Passo 4: Bote esses vetores obtidos no Passo 3 como colunas em uma matriz, seguindo a ordem da base que você definiu para o domínio!

Dica: Se você não reparou ainda, vai reparar agora: genericamente, se temos T : U ⟶ V , sabemos que a matriz T β ⟵ α terá sempre dimensões

d i m   V   × d i m ⁡ ( U )

Ou seja, n ú m e r o   d e   c o l u n a s = d i m   D o m T   e n ú m e r o   d e   l i n h a s = d i m   C D o m T  

Expandir

Exercício Resolvido #1

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 216. – 27

Consideremos a transformação linear T : R 3 → R 2 definida por T x , y , z = 2 x + y - z , x + 2 y e as bases A = 1,0 , 0 , 2 , - 1,0 , 0,1 , 1 do R 3 e B = - 1,1 , 0,1 do R 2 . Determinar a matriz T B A

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, antes de começarmos, caso você esteja implicando com a notação (eu sei como é, irrita quando não aparece do jeito que você aprendeu), T B A = T B ← A .

Agora podemos começar. Bom, as bases do domínio e do contra domínio já foram fixadas:

A = 1,0 , 0 , 2 , - 1,0 , 0,1 , 1

B = - 1,1 , 0,1

Passo 2

Aplicamos a transformação nos vetores da base A do domínio:

T 1,0 , 0 = 2,1

T 2 , - 1,0 = 4 - 1,2 - 2 = 3,0

T 0,1 , 1 = 0,2

Passo 3

Escrevemos esses vetores na base B do contra domínio.

2,1 = - 2 - 1,1 + 3 0,1

3,0 = - 3 - 1,1 + 3 0,1

0,2 = 0 - 1,1 + 2 0,1

Portanto,

2,1 B = - 2,3

3,0 B = - 3,3

0,2 B = 0,2

Passo 4

Montamos uma matriz com os vetores que achamos como colunas:

T B A = - 2 - 3 0 3 3 2

Resposta

T B A = - 2 - 3 0 3 3 2

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 216. – 28

Seja a transformação linear T : R 2 → R 3 , T x , y = 2 x - y , x + 3 y , - 2 y e as bases A = - 1,1 , 2,1 e B = 0,0 , 1 , 0,1 , - 1 , 1,1 , 0 . Determinar T B A . Qual a matriz T C A , onde C é a base canônica do R 3 ?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar resolvendo com as bases do domínio e do contra domínio já fixadas:

A = - 1,1 , 2,1

B = 0,0 , 1 , 0,1 , - 1 , 1,1 , 0

Passo 2

Aplicamos a transformação nos vetores da base A do domínio:

T - 1,1 = - 2 - 1 , - 1 + 3 , - 2 = - 3,2 , - 2

T 2,1 = 4 - 1,2 + 3 , - 2 = 3,5 , - 2

Passo 3

Escrevemos esses vetores na base B do contra domínio.

- 3,2 , - 2 = a 0,0 , 1 + b 0,1 , - 1 + c 1,1 , 0

c = - 3 b + c = 2 ⇒ b = 5 a - b = - 2 ⇒ a = 3

3,5 , - 2 = a 0,0 , 1 + b 0,1 , - 1 + c 1,1 , 0

c = 3 b + c = 5 ⇒ b = 2 a - b = - 2 ⇒ a = 0

Portanto,

- 3,2 , - 2 B = 3,5 , - 3

3,5 , - 2 B = 0,2 , 3

Passo 4

Montamos uma matriz com os vetores que achamos como colunas:

T B A = 3 0 5 2 - 3 3

Passo 5

Agora pra base canônica do R 3 teremos menos trabalho. Vamos pegar os resultados lá do Passo 2 onde aplicamos a T L nos vetores de A :

T - 1,1 = - 3,2 , - 2

T 2,1 = 3,5 , - 2

Só que como a base do contra domínio agora é a canônica é só jogarmos isso nas colunas de uma matriz:

T C A = - 3 3 2 5 - 2 - 2

Resposta

T B A = 3 0 5 2 - 3 3

T C A = - 3 3 2 5 - 2 - 2

Exercício Resolvido #3

Transformações Lineares

A matriz que representa a transformação linear T :   R 3 → R 3 definida por:

T x ,   y ,   z = ( 2 x + 4 y ,   - 4 x - 5 y ,   3 z )

é:

a 2 4 0 - 4 - 5 0 0 0 3

b 2 - 4 0 4 - 5 0 0 0 3

c 2 0 4 - 4 0 - 5 0 3 0

d 2 0 - 4 4 0 - 5 0 3 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Pô, é só calcular a TL aplicada na base canônica!

Olha só:

T 1 ,   0 ,   0 = 2 × 1 + 4 × 0 ,   - 4 × 1 - 5 × 0 ,   3 × 0 = ( 2 ,   - 4 ,   0 )

T 0 ,   1 ,   0 = 2 × 0 + 4 × 1 ,   - 4 × 0 - 5 × 1 ,   3 × 0 = ( 4 ,   - 5 ,   0 )

T 0 ,   0 ,   1 = 2 × 0 + 4 × 0 ,   - 4 × 0 - 5 × 0 ,   3 × 1 = ( 0 ,   0 ,   3 )

Passo 2

Agora é só colocar nas colunas (pelo amor de Deus, não coloque nas linhas) da matriz.

2 4 0 - 4 - 5 0 0 0 3

Resposta

a

Exercício Resolvido #4

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 218. – 35

Mostrar que a matriz do operador linear identidade

I : R n → R n

v → v

em uma base qualquer, é a matriz identidade n × n .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Eu sei, mostrar, que saco né? Mas vamos lá:

O enunciano pediu pra mostrarmos que a matriz que representa a transformação identidade em qualquer espaço e com qualquer base, é a matriz identidade n × n .

Então nós não só não podemos definir os vetores da base, mas também não podemos definir seu tamanho.

Como a transformação vai do R n para o R n , a base do domínio e do contra domínio será a mesma, dada por:

α = { v 1 , v 2 , … , v n - 1 , v n }

Passo 2

Temos nossa base. Agora aplicamos cada vetor dessa base na transformação.

Como é a transformação identidade, ela levará cada vetor da base nele mesmo:

I v 1 = v 1

I v 2 = v 2

I v n - 1 = v n - 1

I v n = v n

Passo 3

Agora passamos cada um desses vetores para a base arbitrária α :

v 1 = x 1 v 1 + x 2 v 2 + … + x n - 1 v n - 1 + x n v n

v 2 = x 1 v 1 + x 2 v 2 + … + x n - 1 v n - 1 + x n v n

v n - 1 = x 1 v 1 + x 2 v 2 + … + x n - 1 v n - 1 + x n v n

v n = x 1 v 1 + x 2 v 2 + … + x n - 1 v n - 1 + x n v n

No entanto, como α é uma base de R n , e os vetores que vamos escrever em função dela fazem todos parte dela, nenhum vetor v i , i ∈ [ 1 , n ] , pode ser formado como uma combinação de outros vetores da base. Logo:

v 1 = 1 v 1 + 0 v 2 + … + 0 v n - 1 + 0 v n = ( 1,0 , … , 0,0 )

v 2 = 0 v 1 + 1 v 2 + … + 0 v n - 1 + 0 v n = ( 0,1 , … , 0,0 )

v n - 1 = 0 v 1 + 0 v 2 + … + 1 v n - 1 + 0 v n = 0,0 , … , 1,0

v n = 0 v 1 + 0 v 2 + … + 0 v n - 1 + 1 v n = 0,0 , … , 0,1

Passo 4

-

Pegamos esses vetores e jogamos nas colunas de uma matriz n × n :

1 0 ⋯ 0 0 0 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ … 0 0 ⋯ 1 0 0 0 ⋯ 0 1

E é isso aí, ta mostrado ;)

Resposta

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