Transformação Linear

Teoria Completa

Já fica experto que esse tópico é super importante e sempre aparece nas provas de Álgebra Linear. Quando falamos sobre transformação linear estamos falando de uma função, que é capaz de alterar o valor de um resultado de acordo com um determinado valor de entrada (input).

Como em Álgebra Linear gostamos de deixar os detalhes conceituais bem claras, dizemos que uma transformação é uma função que tem um conjunto $A$ chamado de domínio, um conjunto $B$ chamado de contradomínio e uma fórmula de associação, que de alguma forma consegue levar os valores de $A$ para $B$.

Por exemplo a função $f(x)=x^2$, tem todos os números $R$eais em seu domínio, e sempre tem como resultado outros números $R$eais, então podemos escrever que:

$$f:\R\rightarrow\R$$
$$x\mapsto x^2$$

Usamos a mesma analogia clássica de função para explicar uma transformação, podemos pensar em uma maquininha que recebe um número (ou um vetor) e cospe um outro número (ou outro vetor). A transformação é a responsável por fazer a ligação entre o domínio e o contradomínio.

Ou seja, enquanto com as funções estamos acostumados com transformações apenas entre dois números reais, quando falamos de transformações lineares estamos falando de funções que admitem qualquer espaço vetorial como argumento e como saída.

Então vamos ver um exemplo de uma transformação:

$$T:\R^2\rightarrow\R^3$$
$$(x,y)\mapsto(x,2y,x+y)$$

Nesse caso ao escolher dois valores, um para $x$ e um para $y$, definimos um ponto de 3 coordenadas no $\R^3$. A transformação é exatamente a expressão que nos gera essa mudança.

E o que significa dizer que uma transformação é linear? Uma transformação é dita linear quando obedece aos seguintes critérios:

  1. $T(u+v)=T(u)+T(v)$
  2. $T(\lambda u)=\lambda T(u), \forall \lambda \in \R$

Se o domínio e o contradomínio de transformação linear (TL) forem espaços do mesmo tipo, chamamos a transformação de Operador Linear.

UFA!, QUANTA COISA! Agora que já entendemos o que são transformações e já sabemos a regra que temos que verificar para saber se são lineares ou não, chegou a hora de aprender como podemos provar que uma transformação é linear ou não e como sempre, vamos nos guiar a partir de um exemplo para em seguida resolver exercícios!

Vamos usar a transformação $T:\R^2 \rightarrow \R^3$ que já discutimos um pouco logo a cima:

$$T(x,y)=(x,2y,x+y)$$

Passo 1

Vamos primeiro verificar a se a primeira condição é válida:

$$(I)T(x_1,y_1)+T(x_2,y_2)=T(x_1+x_2,y_1+y_2)(II)$$

Para isso vamos precisar desenvolver os dois lados da equação e verificar se eles coincidem.

Passo 2

Desenvolvendo primeiro o lado esquerdo $(I)$:

$$T(x_1,y_1)+T(x_2,y_2)=(x_1,2y_1,x_1+y_1)+(x_2,2y_2,x_2+y_2)$$

Logo o lado $(I)$ vale:

$$(I)T(x_1,y_1)+T(x_2,y_2)=(x_1+x_2,2y_1+2y_2,x_1+x_2+y_1+y_2)$$

Passo 3

Desenvolver agora o lado direito $(II)$:

$$T(x_1+x_2,y_1+y_2)=(x_1+x_2,2(y_1+y_2),(x_1+x_2)+(y_1+y_2))$$

Expandindo, encontramos que o lado $(II)$ vale:

$$(II)T(x_1+x_2,y_1+y_2)=(x_1+x_2,2y_1+2y_2,x_1+x_2+y_1+y_2)$$

Passo 4

Dessa forma chegamos a conclusão que:

$$(I)=(II)$$

E portanto essa transformação satisfaz a primeira condição para ser uma transformação linear, vamos agora verificar se ela também satisfaz a segunda condição.

Passo 5

Precisamos verificar, se:

$$(III)T(\lambda x, \lambda y)=\lambda T(x,y)(IV)$$

Passo 6

Desenvolvendo o lado esquerdo $(III)$:

$$T(\lambda x, \lambda y)=(\lambda x, \lambda2y,\lambda(x+y))$$

Passo 7

Desenvolvendo o lado direito $(IV)$:

$$\lambda T(x,y)=\lambda(x,2y,x+y)=(\lambda x, \lambda2y,\lambda(x+y))$$

Passo 8

Logo como podemos observar:

$$(III)=(IV)$$

E portanto essa transformação também satisfaz a segunda condição para ser considerada linear.

Passo 9

Podemos concluir então que $T(x,y)=(x,2y,x+y)$ é uma transformação linear.

Shoow, até que não é tão difícil de fazer essa verificação, e é bom você ficar craque nisso, porque os professores adoram perguntar se um transformação �� linear ou não! E é por isso que a gente está aqui para te ajudar! No nosso site você encontra uma série exercícios organizados em ordem crescente de dificuldade, além de questões de provas antigas resolvidas, listas de exercício resolvidas e até questões de livro resolvidas. E encontra grande parte desse conteúdo em vídeo também!

Confere esse exercício de transformação linear que eu vou deixar de lambuja para você:

Expandir

Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 126 – Fix 4.1.

Determine se são transformações lineares T : R 2 → R 2 :

a   T x , y = ( x + 2 y , x y )

b   T x , y = ( x + 2 y , 0 )

c   T x , y = ( x 2 + 2 y , y )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nesse exercício basta verificarmos se as transformações respeitam as condições para serem uma T L . Lembram quais são?

1   T u + v = T u + T v

2   T λ u = λ T u ,   ∀   λ ∈ R

Vamos começar então ;)

Passo 2

a I   T x 1 , y 1 + T x 2 , y 2 =   T x 1 + x 2 , y 1 + y 2   I I

Desenvolvendo o lado I :

T x 1 , y 1 + T x 2 , y 2

x 1 + 2 y 1 ,   x 1 y 1 + x 2 + 2 y 2 ,   x 2 y 2

x 1 + 2 y 1 + x 2 + 2 y 2 , x 1 y 1 + x 2 y 2

Desenvolvendo o lado I I :

T x 1 + x 2 , y 1 + y 2

  x 1 + x 2 + 2 y 1 + y 2 ,   x 1 + x 2 y 1 + y 2

Passo 3

Igualando I a I I :

x 1 + 2 y 1 + x 2 + 2 y 2 , x 1 y 1 + x 2 y 2 = x 1 + x 2 + 2 y 1 + y 2 ,   x 1 + x 2 y 1 + y 2

Dessa igualdade, chegamos ao seguinte:

x 1 + 2 y 1 + x 2 + 2 y 2 = x 1 + x 2 + 2 y 1 + y 2 x 1 y 1 + x 2 y 2 = x 1 + x 2 y 1 + y 2

Podemos ver que a primeira equação é satisfeita, mas a segunda claramente não bate. Logo, a transformação da letra a não é linear.

Passo 4

b I   T x 1 , y 1 + T x 2 , y 2 =   T x 1 + x 2 , y 1 + y 2   I I

Desenvolvendo o lado I :

T x 1 , y 1 + T x 2 , y 2

x 1 + 2 y 1 ,   0 + x 2 + 2 y 2 ,   0

x 1 + 2 y 1 + x 2 + 2 y 2 , 0

Desenvolvendo o lado I I :

T x 1 + x 2 , y 1 + y 2

  x 1 + x 2 + 2 y 1 + y 2 ,   0

Passo 5

Igualando I a I I :

x 1 + 2 y 1 + x 2 + 2 y 2 , 0 = x 1 + x 2 + 2 y 1 + y 2 ,   0

Daí,

x 1 + 2 y 1 + x 2 + 2 y 2 = x 1 + x 2 + 2 y 1 + y 2 0 = 0

Tanto a igualdade de cima quanto a de baixo conferem! Então ela é linear? Não!! Temos que verificar a segunda condição antes de podermos afirmar algo.

Passo 6

I I I   T λ x , λ y = λ T x , y   I V

Desenvolvendo o lado I I I :

T λ x , λ y

λ x + 2 λ y , 0

Desenvolvendo o lado I V :

λ T x , y

λ x + 2 y , 0

( λ x + λ 2 y , 0 )

Passo 7

Assim, podemos ver que I I I = ( I V ) .

Portanto, provamos que as condições da linearidade satisfazem a nossa transformação! Logo, podemos ver que ela é linear.

Passo 8

c I   T x 1 , y 1 + T x 2 , y 2 =   T x 1 + x 2 , y 1 + y 2   I I

Desenvolvendo o lado I :

T x 1 , y 1 + T x 2 , y 2

x 1 2 + 2 y 1 ,   y 1 + x 2 2 + 2 y 2 ,   y 2

x 1 2 + 2 y 1 + x 2 2 + 2 y 2 , y 1 + y 2

Desenvolvendo o lado I I :

T x 1 + x 2 , y 1 + y 2

x 1 + x 2 2 + 2 y 1 + y 2 , y 1 + y 2

Passo 9

Igualando I a I I :

x 1 2 + 2 y 1 + x 2 2 + 2 y 2 , y 1 + y 2 = x 1 + x 2 2 + 2 y 1 + y 2 , y 1 + y 2

Logo, chegamos às igualdades:

x 1 2 + 2 y 1 + x 2 2 + 2 y 2 = x 1 + x 2 2 + 2 y 1 + y 2 y 1 + y 2 = y 1 + y 2

Já falhou na primeira igualdade, logo, não é uma transformação linear.

Resposta

a Não é linear.

b É linear.

c Não é linear.

Exercício Resolvido #2

Lista 1 para a p2, Questão 2-c), 2015.1, PUC-RIO.

Verifique se F é linear:

F p x = x 2 .   p ( x + 1 )

F : P 2 → P 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para vermos se F é linear, temos que verificar as duas condições:

1 ) F p 1 + p 2 x = F p 1 x + F ( p 2 ) ( x )

2 )   F λ p x = λ F ( p ) ( x )

Lembre-se que como o domínio é P 2 , estamos trabalhando com POLINÔMIOS! Isso quer dizer que estamos trabalhando com seus coeficientes e não sua variável x .

Vamos definir algumas coisas antes:

p 1 x = c 1 + b 1 x + a 1 x 2

p 2 x = c 2 + b 2 x + a 2 x 2

p 1 + p 2 x = c 1 + c 2 + b 1 + b 2 x + a 1 + a 2 x 2

F p x = x 2 c + b x + 1 + a x + 1 2

Passo 2

Vamos provar a primeira condição:

I     F p 1 + p 2 x = F p 1 x + F p 2 x     ( I I )

Vou desenvolver o lado ( I I ) :

F p 1 x + F p 2 x

= x 2 a 1 x + 1 2 + b 1 x + 1 + c 1 + x 2 a 2 x + 1 2 + b 2 x + 1 + c 2

= x 2 a 1 x + 1 2 + b 1 x + 1 + c 1 + a 2 x + 1 2 + b 2 x + 1 + c 2

= x 2 ( c 1 + c 2 + b 1 + b 2 ( x + 1 ) + a 1 + a 2 ( x + 1 ) 2 )

Podemos ver que isso é exatamente:

x 2 p 1 + p 2 x + 1

= F ( p 1 + p 2 ) ( x )

Assim, a condição 1 está provada.

Passo 3

Agora vamos desenvolver a condição 2:

F λ p x = x 2 λ p x + 1 = λ x 2 p x + 1 = λ ( x 2 p x + 1 ⏟ F ( p x ) )

= λ F ( p x )

Como provamos as duas condições, vemos que a transformação é linear.

Resposta

Sim, é linear.

Exercício Resolvido #3

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 219. - 38

Seja o espaço vetorial V = M 2 × 2 e a transformação linear:

T : V → R 3 ,

T a b c d = ( a + b , c - d , 2 a )

Mostre que T é linear.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, pra uma transformação ser linear, como já sabemos, tem que satisfazer as condições:

1   T u + v = T u + T v

2   T λ u = λ T u ,   ∀   λ ∈ R

O próprio enunciado já afirma que ela é linear, mas nos pede pra mostrarmos isso. Logo, temos que testar ambas as condições e mostrar que, de fato, elas são atendidas.

Passo 2

Vamos provar a primeira condição:

I   T a 1 b 1 c 1 d 1 + T a 2 b 2 c 2 d 2 =   T a 1 + a 2 b 1 + b 2 c 1 + c 2 d 1 + d 2   I I

Desenvolvendo I :

T a 1 b 1 c 1 d 1 + T a 2 b 2 c 2 d 2

a 1 + b 1 , c 1 - d 1 , 2 a 1 + ( a 2 + b 2 , c 2 - d 2 , 2 a 2 )

a 1 + b 1 + a 2 + b 2 , c 1 - d 1 + c 2 - d 2 , 2 a 1 + 2 a 2

Agora o lado I I :

T a 1 + a 2 b 1 + b 2 c 1 + c 2 d 1 + d 2

a 1 + a 2 + b 1 + b 2 , c 1 + c 2 - d 1 - d 2 , 2 a 1 + a 2

Passo 3

Igualando I e I I :

a 1 + b 1 + a 2 + b 2 = a 1 + a 2 + b 1 + b 2 c 1 + c 2 - d 1 - d 2 = c 1 - d 1 + c 2 - d 2 2 a 1 + 2 a 2 = 2 a 1 + a 2

Todas as igualdades tão certinhas, então a transformação passou no primeiro teste. Vamos para a segunda condição agora!

Passo 4

I I I   T λ a λ b λ c λ d = λ T a b c d   I V

Lado I I I :

( λ a + λ b , λ c - λ d , 2 λ a )

Lado I V :

λ ( a + b , c - d , 2 a )

( λ a + λ b , λ c - λ d , 2 λ a )

Passo 5

-

Igualando I I I e I V podemos ver que de fato são iguais. Como a transformação satisfez ambas as condições, ela é linear.

Resposta

Exercício Resolvido #4

Transformações Lineares e Teorema Núcleo-Imagem

À questão “Dado v = x 0 y 0 z 0 ∈ M 3 × 1 fixo, a transformação T : M 3 × 3 ⟶ M 3 × 1 dada por T A = A v é linear?”, Andrezinho respondeu da seguinte maneira:

a) Embora T seja realmente uma transformação linear, a justificativa do Andrezinho não está correta. Qual foi o erro que ele cometeu?

b) Mostre que T é linear.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a Andrezinho errou a expressão da T L e também quem são os elementos do seu domínio. Assim, ele fez variar o vetor coluna v , w enquanto seu domínio é na verdade M 3 × 3 , ou seja quem deveria variar deveria ser uma matriz A ∈ M 3 × 3 e não um vetor coluna!

Assim, ele fixou matriz A , e tomou v , w como suas variáveis do problema, provando para uma S :   M 3 × 1 ⟶ M 3 × 1 dada por S v = A v e não uma T : M 3 × 3 ⟶ M 3 × 1 dada por T A = A v .

OBS: Talvez você tenha confundido que v , w ∈ R , também. Pois o jeito que ficou escrito, ficou meio confuso. Mas não tem problema pensar que v , w seriam números reais e não vetores colunas. Uma justificativa com esse argumento também é válida.

Passo 2

b Antes de começar, NÃO É NECESSÁRIO EXPANDIR A MATRIZ A COMO UMA 3 × 3 !! BASTA USAR AS PROPRIEDADES DAS MATRIZES!

Assim para provar que é linear basta fazermos:

  • T A 1 + A 2 = T A 1 + T ( A 2 )
  • T k A = k T A

Vamos provar essa primeiro:

I   T A 1 + A 2 = T A 1 + T A 2   ( I I )

Desenvolvendo o lado ( I I ) temos que:

T A 1 + T A 2 = A 1 v + A 2 v = A 1 + A 2 v = T A 1 + A 2

E assim vemos que I = ( I I ) !

Passo 3

-

Agora vamos provar que

I I I   T k A = k T A   ( I V )

Assim, vamos desenvolver o lado ( I I I ) :

T k A = k A v = k A v = k T ( A )

E assim podemos ver que os lados ( I I I ) e ( I V ) são iguais, E, portanto provamos as condições para nossa T ser linear!

Resposta

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