Transformação Linear

Teoria Completa

Introdução

Uma transformação não é nada mais nada menos que uma função, assim como as quais nós estudamos em Cálculo e durante todo o Ensino Médio. É mais comum denotarmos, em Álgebra Linear, funções como transformações.

Além disso, podemos chamar de função “alguma coisa” que possui esses 3 itens:

1   um conjunto A chamado de domínio;

2   um conjunto B chamado de contra-domínio;

3   uma regra (fórmula) de associação.

Assim, sendo uma função f genérica, podemos denotá-la como:

f   : A → B

x   ⟼ f ( x )

Ex: podemos escrever a função f x = x 2 como

f : R → R

x   ⟼ x 2

Podemos ver que o domínio desta função é o conjunto dos números reais ( R ) e seu contra-domínio também é o conjunto dos números reais.

Podemos pensar na transformação linear como uma maquininha. Ela recebe um número, faz algumas contas com ele, e “cospe” o resultado pra você.

Ufa! Mas por que foi necessário isso tudo?

Em Álgebra Linear nossas funções (transformações) não admitem apenas o conjunto dos números reais como domínio ou contra-domínio, elas admitem qualquer espaço vetorial (por exemplo, um grupo de vetores, matrizes ou polinômios).

Ou seja, podemos ter uma transformação T assim:

T : R 2 → R 3

x , y ⟼ ( x , 2 y , x + y )

Ou seja, essa transformação (neste caso, uma função vetorial) pega vetores do R 2 , faz alguma coisa com eles (fórmula atuando aqui) e “cospe” eles no R 3 .

Em Álgebra Linear, usaremos essas transformações; porém, vamos focar em uma particularidade, vamos estudar somente as transformações lineares.

Dizemos que algo é linear na matemática se satisfaz as seguintes propriedades:  

1   T u + v = T u + T v

2   T λ u = λ T u ,   ∀   λ ∈ R

Notação: A partir de agora vamos chamar o termo “Transformação Linear” ou “Transformações Lineares” de T L .

Obs.: No caso em que o domínio e o contra domínio de uma T L são os mesmos, chamamos ela de Operador Linear. É só uma questão de nome mesmo, nada de muito especial haha.

Provando que uma transformação é linear

Tá, beleza. Mas como PROVAMOS que uma transformação é linear?

Relaxa que nem tudo que envolve provar é tão difícil quanto parece, haha. Não se desespere antes de tentar. Depois que você ler isso ai, vai manjar de tudo!

Por exemplo, vamos pegar aquela transformação acima: T x , y = x , 2 y , x + y .

Passo 1: I   T x 1 , y 1 + T x 2 , y 2 =   T x 1 + x 2 , y 1 + y 2   I I

Desenvolvendo o lado ( I ) :

T x 1 , y 1 + T x 2 , y 2

x 1 ,   2 y 1 ,   x 1 + y 1 + x 2 ,   2 y 2 ,   x 2 + y 2

x 1 + x 2 ,   2 y 1 + 2 y 2 ,   x 1 + x 2 + y 1 + y 2

Desenvolvendo o lado ( I I ) :

T x 1 + x 2 , y 1 + y 2

  x 1 + x 2 ,   2 y 1 + y 2   , x 1 + x 2 + y 1 + y 2

x 1 + x 2 ,   2 y 1 + 2 y 2   ,   x 1 + x 2 + y 1 + y 2

Logo, podemos ver que I = ( I I ) .

Passo 2: I I I   T λ x , λ y = λ T x , y   I V

Desenvolvendo o lado I I I :

T λ x , λ y

λ x , λ 2 y , λ x + y

Desenvolvendo o lado I V :

λ T x , y

λ x , 2 y , x + y

( λ x , λ 2 y , λ x + y )

Assim, podemos ver que I I I = ( I V ) .

Portanto, provamos que as condições da linearidade satisfazem a nossa transformação! Logo, podemos ver que ela é linear.

Após isso tudo, podemos chegar a uma definição de transformação linear:

Existem também alguns casos de transformações lineares mais manjadas como por exemplo rotações, projeções ortogonais e reflexões ortogonais. Nesses casos nem se dê ao trabalho de testar, pois ela com certeza será linear haha.

Pra fechar vamos dar uma olhada em um exemplo que não dá tão certo haha:

Considere a transformação T : P 2 → P 1 , definida por T a x 2 + b x + c = a b x + c .

Isso aí, polinômios! Melhor ver eles aqui e já ir se acostumando do que levar uma porrada nos exercícios né haha? Bom, vamos seguir.

Bom, temos uma transformação que pega vetores do tipo a x 2 + b x + c e leva em algo do tipo a b x + c . Usando as bases { 1 , x , x 2 } para o P 2 e { 1 , x } para o P 1 , temos que a transformação faz o seguinte:

c , b , a → ( c , a b )

Agora podemos testar ela mais facilmente:

Passo 1: I   T c 1 , b 1 , a 1 + T c 2 , b 2 , a 2 =   T c 1 + c 2 , b 1 + b 2 , a 1 + a 2   I I

Desenvolvendo o lado ( I ) :

T c 1 , b 1 , a 1 + T c 2 , b 2 , a 2

c 1 , b 1 a 1 + ( c 2 , b 2 a 2 )

c 1 + c 2 , b 1 a 1 + b 2 a 2

Desenvolvendo o lado ( I I ) :

  T c 1 + c 2 , b 1 + b 2 , a 1 + a 2  

c 1 + c 2 , b 1 + b 2 ∙ a 1 + a 2

c 1 + c 2 , b 1 a 1 + b 1 a 2 + b 2 a 1 + b 2 a 2

Igualando I com I I :

c 1 + c 2 , b 1 a 1 + b 2 a 2 = ( c 1 + c 2 , b 1 a 1 + b 1 a 2 + b 2 a 1 + b 2 a 2 )

Opa! Claramente, os resultados não são iguais! Logo, a transformação apresentada não é uma T L !

Expandir

Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 126 – Fix 4.1.

Determine se são transformações lineares T : R 2 → R 2 :

a   T x , y = ( x + 2 y , x y )

b   T x , y = ( x + 2 y , 0 )

c   T x , y = ( x 2 + 2 y , y )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nesse exercício basta verificarmos se as transformações respeitam as condições para serem uma T L . Lembram quais são?

1   T u + v = T u + T v

2   T λ u = λ T u ,   ∀   λ ∈ R

Vamos começar então ;)

Passo 2

a I   T x 1 , y 1 + T x 2 , y 2 =   T x 1 + x 2 , y 1 + y 2   I I

Desenvolvendo o lado I :

T x 1 , y 1 + T x 2 , y 2

x 1 + 2 y 1 ,   x 1 y 1 + x 2 + 2 y 2 ,   x 2 y 2

x 1 + 2 y 1 + x 2 + 2 y 2 , x 1 y 1 + x 2 y 2

Desenvolvendo o lado I I :

T x 1 + x 2 , y 1 + y 2

  x 1 + x 2 + 2 y 1 + y 2 ,   x 1 + x 2 y 1 + y 2

Passo 3

Igualando I a I I :

x 1 + 2 y 1 + x 2 + 2 y 2 , x 1 y 1 + x 2 y 2 = x 1 + x 2 + 2 y 1 + y 2 ,   x 1 + x 2 y 1 + y 2

Dessa igualdade, chegamos ao seguinte:

x 1 + 2 y 1 + x 2 + 2 y 2 = x 1 + x 2 + 2 y 1 + y 2 x 1 y 1 + x 2 y 2 = x 1 + x 2 y 1 + y 2

Podemos ver que a primeira equação é satisfeita, mas a segunda claramente não bate. Logo, a transformação da letra a não é linear.

Passo 4

b I   T x 1 , y 1 + T x 2 , y 2 =   T x 1 + x 2 , y 1 + y 2   I I

Desenvolvendo o lado I :

T x 1 , y 1 + T x 2 , y 2

x 1 + 2 y 1 ,   0 + x 2 + 2 y 2 ,   0

x 1 + 2 y 1 + x 2 + 2 y 2 , 0

Desenvolvendo o lado I I :

T x 1 + x 2 , y 1 + y 2

  x 1 + x 2 + 2 y 1 + y 2 ,   0

Passo 5

Igualando I a I I :

x 1 + 2 y 1 + x 2 + 2 y 2 , 0 = x 1 + x 2 + 2 y 1 + y 2 ,   0

Daí,

x 1 + 2 y 1 + x 2 + 2 y 2 = x 1 + x 2 + 2 y 1 + y 2 0 = 0

Tanto a igualdade de cima quanto a de baixo conferem! Então ela é linear? Não!! Temos que verificar a segunda condição antes de podermos afirmar algo.

Passo 6

I I I   T λ x , λ y = λ T x , y   I V

Desenvolvendo o lado I I I :

T λ x , λ y