Núcleo e Imagem de uma TL

Teoria Completa

Já demos uma olhada no que é uma T L . Então agora vamos nos aprofundar em duas coisas chamadas Núcleo e Imagem. Mas, primeiro vamos começar com o Núcleo.

Núcleo de uma TL

Lembra de quando estudávamos funções, onde um elemento era uma raiz se zerasse a função? Tipo, 1 é raiz da função f x = x - 1 porque f 1 = 0 .

Uma coisa importante que temos que lembrar disso é que as raízes dessa função f ( x ) pertencem ao seu domínio. Já o zero gerado está no contra-domínio!

O Núcleo de uma T L é bem parecido com isso. Ele é o conjunto dos elementos do domínio (sejam eles vetores, matrizes ou polinômios) que zeram a T L . A definição é a seguinte:

Repetindo, os geradores do núcleo sempre pertencem ao domínio da T L !! Veja na definição do conjunto N u c ( T ) que todos os vetores desse conjunto ∈ U , que é o domínio da T L .

To batendo muito nessa tecla, mas se reclamar bato mais ainda haha, porque é muito importante galera. Tem que tá no sangue.

Tá, agora que todo mundo entendeu a definição vamos aprender a achar essa bagaça.

Por exemplo, temos essa simpática T L :

T : R 3 → R 2

T x , y , z = ( x - 2 y + z , 2 x + y + z )

Para acharmos os geradores do núcleo é só igualarmos a T L ao elemento nulo do contra-domínio.

Vale ressaltar duas coisas importantes aqui. Primeiro, o elemento nulo não é necessariamente o zero, lembra galera? Segundo, você iguala ao vetor nulo do contra-domínio. Até porque não faria sentido igualar à um vetor fora do espaço que essa T L leva né haha. Continuando:

T x , y , z = x - 2 y + z , 2 x + y + z = 0,0

x - 2 y + z = 0     2 x + y + z = 0 ( I ) ( I I )

De ( I ) :

z = 2 y - x

Substituindo em I I :

2 x + y + z = 0

2 x + y + 2 y - x = 0

x = - 3 y   ( I I I )

I I I em I :

x - 2 y + z = 0

- 3 y - 2 y + z = 0

z = 5 y

Sendo assim, os geradores do núcleo são o conjunto dos vetores ( x , y , z ) que tem x = - 3 y e z = 5 y . Então eles vão ter essa cara:

x , y , z = - 3 y , y , 5 y = y ( - 3,1 , 5 )

Loooogo, N u c T = s p a n - 3,1 , 5 ou N u c T = 〈 ( - 3,1 , 5 ) 〉 .

Opa, lembram que os elementos do Núcleo pertencem ao domínio (ai de vocês se não lembrarem!)? Então, note que o vetor genérico que a gente arrumou tem três coordenadas! Então ele é do R 3 né, que é o domínio da nossa T L ;)

Vale comentar mais algumas coisas:

Não é muito difícil de vermos que o núcleo de uma T L será sempre um espaço vetorial do domínio dela (porque ele faz parte do domínio!!!). Se duvidar de mim pode provar aí que você já sabe fazer isso haha. Então:

Nesse exemplo que eu dei o núcleo tinha dimensão 1 (é o espaço gerado por um único vetor). Então, podíamos dizer que a Nulidade dessa transformação T é 1 . A Nulidade de uma transformação linear T é a dimensão do seu núcleo: dim ⁡ N u c T .

Ah, e não esquece:

Imagem de uma TL

Além do Núcleo, existe um outro espaço vetorial muito importante relacionado a uma transformação: a imagem. A imagem de uma transformação são todos os elementos transformados a partir do domínio de uma T L .

Ou seja, são todos os elementos do contra domínio que a T L gera. Mais formalmente:

Repare que os elementos da imagem sempre, SEMPRE, pertence ao contra domínio, pois são os elementos transformados T ( u ) . Assim, I m T ⊂ V . Isso aí, vou ficar batendo nessa tecla igual fiz com o núcleo haha.

Beleza, mas como eu acho qual é essa imagem? E quais são os geradores dela?

Vamos pegar, por exemplo, essa outra transformação

T : R 2 → R 3 T x , y = ( x + y , x - y , 2 x )

Primeiro vamos desmembrar a fórmula da T L . Teremos:

x + y , x - y , 2 x = x 1,1 , 2 + y ( 1 , - 1,0 )

Assim, I m T = s p a n 1,1 , 2 , 1 - 1,0 = 1,1 , 2 , 1 , - 1,0

Oi? Só isso?! Sim, só isso haha. Mamatinha.

Note que os vetores da imagem possuem 3 coordenadas! E temos que D o m T = R 2 e o C D T = R 3 . Loooooogo (isso aí, vou falar de novo), a imagem está no contra domínio!

Assim como quando falamos de núcleo, vale comentar algumas coisas:

A imagem de uma T L também será sempre um subespaço vetorial do contra domínio da T L . Então:

Também temos um nome especial para a dimensão da imagem. O Posto de uma transformação linear T é a dimensão da sua imagem dim ⁡ I m T .

Obs: O termo nulidade não é tão usado, mas o termo posto é muito comum então vale a pena gravar.

Por último, mas não menos importante:

Expandir

Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 126 – Fix. 4.7

Seja T : V → W uma T L . A definição de N u c ( T ) é:

a   { w ∈ W | T 0 = w }

b   { w ∈ W | T w = 0 }

c   { v ∈ V | T v = 0 }

d   { v ∈ V | T 0 = v }

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Passo 1

Bom, o que nós sabemos sobre o núcleo de uma T L ? Sabemos que o núcleo é composto por todos os elementos que a T L leva no zero e, é claro, que o núcleo faz parte do domínio da T L .

Po, o domínio dessa T L é V . Logo, os vetores do núcleo também devem pertencer a V . Isso elimina as duas primeiras alternativas.

E para um vetor v pertencer ao núcleo, a T L , quando aplicada nele, deve dar zero, ou seja:

T v = 0

Sendo assim, a alternativa correta é a c .

Resposta

Letra c

Exercício Resolvido #2

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 126 – Fix 4.7

Seja T : V → W uma T L . A definição de I m ( T ) é:

a   { w ∈ W | w = T v   p a r a   a l g u m   v ∈ V }

b   { w ∈ W | v = T w   p a r a   a l g u m   w ∈ W }

c   { v ∈ V | w = T v   p a r a   a l g u m   v ∈ V }

d   { v ∈ V | v = T w   p a r a   a l g u m   w ∈ W }

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, o que nós sabemos sobre a imagem de uma T L ? Sabemos que a imagem é composta por todos os elementos que a T L pode gerar e, é claro, que a imagem faz parte do contra domínio da T L .

Po, o contra domínio dessa T L é W . Logo, os vetores da imagem devem pertencer a W . Isso elimina as duas últimas alternativas.

E a T L tem que levar algum vetor do domínio v ∈ V nesse vetor da imagem w ∈ W . Logo, temos que para todo w ∈ W deve existir um v ∈ V tal que:

T v = w

Sendo assim, a alternativa correta é a a .

Resposta

Letra a