Enunciado

13 Mostrar que um operador F e L(V) é idempotente se, e somente se, I-F é idempotente.

Passo 1

Um operador F ser idempotente significa que:

F 2 = F

E um operador, F , é nilpotente se existir um certo número natural, n , que faça com que:

F n = 0

Passo 2

d)

Se fizermos duas vezes a operação:

F 2 x ,   y ,   z = F F x ,   y ,   z

F 2 x ,   y ,   z = F 0 ,   0 ,   x

F 2 x ,   y ,   z = 0 ,   0 ,   0

E esse resultado é diferente de quando aplicamos só uma vez o operador:

F 2 x ,   y ,   z ≠ F x ,   y ,   z

Pois

0 ,   0 ,   0 ≠ 0 ,   0 ,   x

Dessa forma, o vetor não é idempotente.

Porém, pudemos ver que se aplicarmos 2 vezes esse operador obteremos o vetor nulo, dessa forma o vetor é nilpotente.

Resposta

O vetor é nilpotente.

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