Enunciado

Verifique a Fórmula p o s (T) + n u l (T) = n do teorema da dimensão para.

  1. T (x , y) = ( 2 x - y , - 8 x + 4 y )
  2. T (x_1 , x_2 , x_3 , x_4) = ( 4 x_1 + x_2 - 2 x_3 - x_4 , 2 x_1 + x_2 + x_3 - 4 x_4 , 6 x_1 - 9 x_3 + 9 x_4 )
  3. T (p (x)) = x p (x)

Passo 1

  1. Vamos lá! Se T : V -> W for uma transformação linear de um espaço vetorial V de dimensão n num espaço vetorial W , então

    p o s (T) + n u l (T) = n

    Nossa transformação é dada por:

    T (x , y) = ( 2 x - y , - 8 x + 4 y )

    Se trata de um caso de T : R^2 -> R^2

    Assim temos que:

    p o s (T) + n u l (T) = d i m (I m (T)) + d i m (N u c (T))

    Como tanto nossa imagem, quanto nosso núcleo possuem um único vetor, temos:

    p o s (T) + n u l (T) = d i m (I m (T)) + d i m (N u c (T)) = 1 + 1 = 2

    Passo 2

  2. Vamos lá! Se T : V -> W for uma transformação linear de um espaço vetorial V de dimensão n num espaço vetorial W , então

    p o s (T) + n u l (T) = n

    Nossa transformação é dada por:

    T (x_1 , x_2 , x_3 , x_4) = ( 4 x_1 + x_2 - 2 x_3 - x_4 , 2 x_1 + x_2 + x_3 - 4 x_4 , 6 x_1 - 9 x_3 + 9 x_4 )

    Se trata de um caso de T : R^4 -> R^3

    Assim temos que:

    p o s (T) + n u l (T) = d i m (I m (T)) + d i m (N u c (T))

    Como nossa d i m (I m (T)) = 3 , temos:

    p o s (T) + n u l (T) = d i m (I m (T)) + d i m (N u c (T)) = 3 + 1 = 4

    Passo 3

Vamos lá! Se T : V -> W for uma transformação linear de um espaço vetorial V de dimensão n num espaço vetorial W , então

p o s (T) + n u l (T) = n .

Nossa transformação é dada por:

T (x) = x p (x)

T (a x^2 + b x + c) = x * p (a x^2 + b x + c) = a x^3 + b x^2 + c x

Se trata de um caso de T : R^2 -> R^3

Assim temos que:

p o s (T) + n u l (T) = d i m (I m (T)) + d i m (N u c (T))

Como d i m (I m (T)) = 3 - 1 :

p o s (T) + n u l (T) = d i m (I m (T)) + d i m (N u c (T)) = 3 - 1 + 0 = 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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