Enunciado

16. (a) Prove que se A e B forem matrizes semelhantes, então A 2 e B 2 também são semelhantes. Mais geralmente, prove que A k e B k são semelhantes, qualquer que seja o inteiro positivo k .

(b) Se A 2 e B 2 forem semelhantes, decorre que A e B são semelhantes? Explique.

Passo 1

(a) Bem... da definição lá de matrizes semelhantes. Pra A e B serem semelhantes, então existe uma matriz P tal que:

A = P - 1 B P

Vamos elevar ao quadrado dos dois lados:

A 2 = P - 1 B P 2

A 2 = P - 1 B P P - 1 B P

Lembre que:

P P - 1 = I

Então:

A 2 = P - 1 B I B P

Como I é como se fosse o “um” das matrizes... qualquer matriz multiplicada por ela a própria matriz.

A 2 = P - 1 B B P

A 2 = P - 1 B 2 P

Portanto, A 2 e B 2 são semelhantes, como queríamos demonstrar...

Passo 2

Bem.. quando é mais geral o buraco é um pouco mais embaixo...

A = P - 1 B P

Vamos elevar a k dos dois lados:

A k = P - 1 B P k

E queremos chegar em:

A k = P - 1 B k P

É um pouco intuitivo a gente notar que vai acontecer da mesma forma que aconteceu com 2, só que pra k , mas para provar vamos precisar usar uma técnica meio abstrata (me perdoem)...

Vamos provar por indução. Que consiste em considerar que pra k é verdade e provar que pra k + 1   também vale.

A k + 1 = P - 1 B k + 1 P

Isso é igual a:

A k A = P - 1 B k B P

Vamos fazer o inverso do que fizemos no outro passo: ( P P - 1 = I )

A k A = P - 1 B k I B P

A k A = P - 1 B k P P - 1 B P

Como A é invertível e A = P - 1 B P

A k = P - 1 B k P

Como queríamos demonstrar.

Passo 3

Agora se A 2 e B 2 são semelhantes:

A 2 = P - 1 B 2 P

A A = P - 1 B B P

A A = P - 1 B I B P

A A = P - 1 B P P - 1 B P

A = P - 1 B P

Então A   e B são semelhantes.

Resposta

(a) A k = P - 1 B k P

(b) A = P - 1 B P

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

10. Seja T : P 4 → P 4 o operador linear dado pela fórmula T p x = p 2 x + 1 .(a) Encontre uma matriz de T em relação a alguma base conveniente e, depois, use-a para encontrar o posto e a nulidade de
11. Em cada parte, encontre uma base em R 2 em relação à qual a matriz de T é diagonal.(a) T x 1 x 2 = x 1 - x 2 2 x 1 + 4 x 2 (b) T x 1 x 2 = 4 x 1 - x 2 - 3 x 1 + x 2
13. Seja T : P 2 → P 2 definido por T a 0 + a 1 x + a 2x 2 = 5 a 0 + 6 a 1 + 2 a 2 - a 1 + 8 a 2 x + a 0 - 2 a 2 x 2 (a) Encontre os autovalores de T .(b) Encontre bases dos autoespaços de T .
8. Em cada caso, encontre det ⁡ T .(a) T : R 2 → R 2 , sendo T x 1 , x 2 = 3 x 1 - 4 x 2 , - x 1 + 7 x 2 (b) T : R 3 → R 3 , sendo T x 1 , x 2 , x 3 = x 1 - x 2 , x 2 - x 3 , x 3 - x 1 (c) T : P 2 → P
12. Em cada parte, encontre uma base de R 3 relativa à qual a matriz de T é diagonal.(a) T x 1 x 2 x 3 = - 2 x 1 + x 2 - x 3 x 1 - 2 x 2 - x 3 - x 1 - x 2 - 2 x 3 (b) T x 1 x 2 x 3 = - x 2 + x 3 - x 1