Enunciado

10. Seja T : P 4 → P 4 o operador linear dado pela fórmula T p x = p 2 x + 1 .

(a) Encontre uma matriz de T em relação a alguma base conveniente e, depois, use-a para encontrar o posto e a nulidade de T .

(b) Use o resultado da parte (a) para determinar se T é injetor.

Passo 1

(a) Como é T : P 4 → P 4 , então:

T p x = c 0 + c 1 2 x + 1 + c 2 2 x + 1 2 + c 3 2 x + 1 3 + c 4 2 x + 1 4

Usando a base:

B = 1 , x , x 2 , x 3 , x 4

Pela fórmula de T :

T 1 = 1

T x = 2 x + 1

T x 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

T x 3 = 8 x 3 + 12 x 2 + 4 x + 1

T x 4 = 1 6 x 4 + 32 x 3 + 24 x 2 + 8 x + 1

De modo que:

T 1 B = 1 0 0 0 0

T x B = 1 2 0 0 0

T x 2 B = 1 4 4 0 0

T x 3 B = 1 4 12 8 0

T x 4 B = 1 8 24 32 16

Então:

T B = 1 1 1 1 1 0 2 4 4 8 0 0 4 12 24 0 0 0 8 32 0 0 0 0 16

Poranto,

p o s T = 5

n u l T = 0

Passo 2

(b) Como todas as colunas e linhas da matriz são linearmente independentes, é injetor.

Resposta

(a) T B = 1 1 1 1 1 0 2 4 4 8 0 0 4 12 24 0 0 0 8 32 0 0 0 0 16

(b) é injetor

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