Enunciado

18. Considere as matrizes:

A = 2 1 2 2 2 - 2 3 1 1 e x 1 x 2 x 3

  1. Mostre que a equação Ax=x pode ser reescrita como (A-I)x=0 e use esse resultado para resolver Ax=x para x
  2. Resolva Ax=4x

Passo 1

a)

Vamos olhar para a equação que ele nos dá:

A ⋅ x = x

Nós podemos substrair x dos dois lados da equação:

A ⋅ x - x = 0

Sabemos também que a matriz identidade é o termo nulo da multiplicação, então:

I ⋅ x = x

Então podemos substituir esse resultado na nossa equação:

A ⋅ x - I ⋅ x = 0

E pelas propriedades da aritimética matricial, apresentada na seção 4 desse capitulo, podemos reescrever essa diferença como: 2 1 2 2 2 - 2 3 1 1 - 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

1 1 2 2 1 - 2 3 1 0 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Passo 2

Vamos escrever a matriz estendida e escalona-la para resolver o sistema:

1 1 2 0 2 1 - 2 0 3 1 0 0

Somando - 2 vezes a primeira linha na segunda. E somando - 3 vezes a primeira linha na terceira:

1 1 2 0 0 - 1 - 6 0 0 - 2 - 6 0

Multiplicando a segunda linha por - 1 :

1 1 2 0 0 1 6 0 0 - 2 - 6 0

Somando, 2 vezes a segunda linha, à terceira:

1 1 2 0 0 1 6 0 0 0 6 0

Dividindo a terceira linha por 6:

1 1 2 0 0 1 6 0 0 0 1 0

Somando - 2 vezes a linha 3 na linha 1 e - 6 vezes a linha 3 na linha 2: 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

Somando - 1 vez a linha 2 na linha 1:

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

O sistema só possui a solução trivial:

x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Passo 3

b)

Agora vamos resolver o outro sistema que o exercícios nos pede. Podemos mudar ele de uma maneira pareceida como fizemos na letra a:

A ⋅ x = 4 x

A ⋅ x - 4 x = 0

A ⋅ x - 4 I ⋅ x = 0

A - 4 I ⋅ x = 0

Agora escrevendo as mztrizes:

2 1 2 2 2 - 2 3 1 1 - 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

2 1 2 2 2 - 2 3 1 1 - 4 0 0 0 4 0 0 0 4 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

- 2 1 2 2 - 2 - 2 3 1 - 3 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Passo 4

Vamos escrever a matriz estendida e escalona-la para resolver o sistema:

- 2 1 2 0 2 - 2 - 2 0 3 1 - 3 0

Dividindo a primeira linha por - 2 :

1 - 1 / 2 - 1 0 2 - 2 - 2 0 3 1 - 3 0

Somando - 2 vezes a primeira linha na segunda. E somando - 3 vezes a primeira linha na terceira:

1 - 1 / 2 - 1 0 0 - 1 0 0 0 5 / 2 0 0

Multiplicando a segunda linha por - 1 e a terceira por 2 / 5 :

1 - 1 / 2 - 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0

Daqui a gente tira que:

1 - 1 / 2 - 1 0 1 0 0 1 0 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

x 1 - x 2 2 - x 3 = 0

e

x 2 = 0

Como x 2 = 0 :

x 1 - 0 2 - x 3 = 0

x 1 = x 3

O sistema possui, além da solução trivial, a seguinte solução geral:

x 1 x 2 x 3 = x 1 0 x 1

Resposta

a)

x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

b)

x 1 x 2 x 3 = x 1 0 x 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

5 x 1 + 3 x 2 + 2 x 3 = 4 3 x 1 + 3 x 2 + 2 x 3 = 2 0 x 1 + 3 x 2 + x 3 = 5
x 1 + 3 x 2 + x 3 = 4 2 x 1 + 2 x 2 + x 3 = - 1 2 x 1 + 3 x 2 + x 3 = 3
x + y + z = 5 x + y - 4 z = 10 - 4 x + y + z = 0
Use a parte (c) do Exercício 22 para mostrar que d A - 1 d x = - A - 1 d A - 1 d x A - 1 Enuncie todas as hipóteses necessárias para obter essa fórmula.
Supondo que as inversas envolvidas existam, prove as igualdades a seguir. C - 1 + D - 1 - 1 = C C + D - 1 D I + C D - 1 C = C I + D C - 1 C + D D T - 1 D = C - 1 D I + D T C - 1 D - 1