Enunciado

Use a parte (c) do Exercício 22 para mostrar que

d A - 1 d x = - A - 1 d A - 1 d x A - 1

Enuncie todas as hipóteses necessárias para obter essa fórmula.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Se A for invertível, então A - 1 existe e:

A A - 1 = I

Vamos derivar ambos os lados:

d A A - 1 d x = d I d x

Sabemos que:

d d x A B = d A d x B + A d B d x

Logo:

d A d x A - 1 + A d A - 1 d x = d I d x

Passo 2

A derivada de uma constante é nula, portanto:

d A d x A - 1 + A d A - 1 d x = 0

Portanto:

A d A - 1 d x = - d A d x A - 1

Multiplicando ambos os lados por A - 1 , temos que:

A - 1 A d A - 1 d x = - A - 1 d A d x A - 1

Como:

A - 1 A = I

Temos que:

I d A - 1 d x = - A - 1 d A d x A - 1

Ou:

d A - 1 d x = - A - 1 d A d x A - 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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x 1 + 3 x 2 + x 3 = 4 2 x 1 + 2 x 2 + x 3 = - 1 2 x 1 + 3 x 2 + x 3 = 3
x + y + z = 5 x + y - 4 z = 10 - 4 x + y + z = 0
Supondo que as inversas envolvidas existam, prove as igualdades a seguir. C - 1 + D - 1 - 1 = C C + D - 1 D I + C D - 1 C = C I + D C - 1 C + D D T - 1 D = C - 1 D I + D T C - 1 D - 1