Enunciado

2.1.2 Se possível, encontre as inversas das seguintes matrizes:

(f) 1 1 1 1 1 3 1 2 1 2 - 1 1 5 9 1 6

Passo 1

Para iniciar a resolução, cabe relembrar que o produto entre a matriz e a sua inversa é igual a matriz identidade. Ou seja, C ⋅ C - 1 = I n . Aplicando a esse exercício, tem-se:

1 1 1 1 1 3 1 2 1 2 - 1 1 5 9 1 6 .   a b c d e f g h ⅈ j k l m m o p = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Passo 2

Aplicando o passo 1 na matriz acima, temos que a matriz fica:

a + e + i + m b + f + j + n c + g + k + o d + h + l + p a + 3 e + i + 2 m b + 3 f + j + 2 n c + 3 g + k + 2 o d + 3 h + l + 2 p a + 2 e - i + m b + 2 f - j + n c + 2 g - k + o d + 2 h - l + p 5 a + 9 e + i + 6 m 5 b + 9 f + j + 6 n 5 c + 9 g + k + 6 o 5 d + 9 h + l + 6 p = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Então, as equações são:

a + e + i + m = 1 b + f + j + n = 0 c + g + k + o = 0 d + h + l + p = 0

a + 3 e + i + 2 m =0 b + 3 f + j + 2 n = 1 c + 3 g + k + 2 o = 0 d + 3 h + l + 2 p = 0

a + 2 e - i + m = 0 b + 2 f - j + n = 0 c + 2 g - k + o = 1 d + 2 h - l + p = 0

5 a + 9 e + i + 6 m = 0 5 b + 9 f + j + 6 n = 0 5 c + 3 g + k + 6 o = 0 5 d + 9 h + l + 6 p = 1

Passo 3

Resolvendo os sistemas, temos que:

a = 1 / 4 b = 5 / 4 c = - 3 / 4 d = 1 / 2 e = 1 / 2 f = - 1 / 2 g = 1 / 2 h = 0 ⅈ = 1 / 4 j = 1 / 4 k = 1 / 4 l = - 1 / 2 m = 0 n = - 2 o = - 1 p = - 2

Resposta

F - 1 = 1 / 4 5 / 4 - 3 / 4 1 / 2 1 / 2 - 1 / 2 1 / 2 0 1 / 4 1 / 4 1 / 4 - 1 / 2 0 - 2 - 1 - 2