Enunciado

40. Encontre todos os valores de a, b, c e d com os quais A é antissimétrica.

A = 0 2 a - 3 b + c 3 a - 5 b + 5 c - 2 0 5 a - 8 b + 6 c - 3 - 5 d

Passo 1

Para uma matriz ser antissimétrica ela deve ser igual a sua matriz transposta negativa:

A = - A T

Quando nós calculamos a transposta, os termos da diagonal principal não se alteram, logo todos esses termos devem ser iguais a zero, observe a seguinte matriz:

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = - a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 T

Escrevendo a transposta:

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = - a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33

Aplicando o sinal negativo na matriz:

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = - a 11 - a 21 - a 31 - a 12 - a 22 - a 32 - a 13 - a 23 - a 33

Obtemos sempre a mesma equação dos termos da diagonal principal:

a 11 = - a 11

a 22 = - a 22

a 33 = - a 33

Ou seja, esses três termos sempre valem zero:

a 11 = a 22 = a 33 = 0

Portando d = 0 .

Passo 2

Aplicando a matriz nessa igualdade:

0 2 a - 3 b + c 3 a - 5 b + 5 c - 2 0 5 a - 8 b + 6 c - 3 - 5 d = - 0 2 a - 3 b + c 3 a - 5 b + 5 c - 2 0 5 a - 8 b + 6 c - 3 - 5 d T

Escrevendo a transposta:

0 2 a - 3 b + c 3 a - 5 b + 5 c - 2 0 5 a - 8 b + 6 c - 3 - 5 d = - 0 - 2 - 3 2 a - 3 b + c 0 - 5 3 a - 5 b + 5 c 5 a - 8 b + 6 c d

Aplicando o sinal negativo na matriz:

0 2 a - 3 b + c 3 a - 5 b + 5 c - 2 0 5 a - 8 b + 6 c - 3 - 5 d = 0 2 3 - 2 a + 3 b - c 0 5 - 3 a + 5 b - 5 c - 5 a + 8 b - 6 c - d

Montando as equações:

2 a - 3 b + c = 2

3 a - 5 b + 5 c = 3

5 a - 8 b + 6 c = 5

E como tínhamos dito no passo anterior:

d = - d

d = 0

Passo 3

Agora precisamos resolver aquele sistema. Perceba que a 3ª equação é igual a 1ª mais a 2ª:

2 a - 3 b + c = 2 3 a - 5 b + 5 c = 3 5 a - 8 b + 6 c = 5

Ou seja, podemos usar somente as duas primeiras equações, já que a terceira não vai mudar em nada nossa resposta.

2 a - 3 b + c = 2 3 a - 5 b + 5 c = 3

Para tirar pelo menos uma das incógnitas da segunda equação, vamos multiplicar a primeira por -5 e somar na segunda equação, dessa forma o c vai sumir da segunda equação:

2 a - 3 b + c = 2 3 a - 5 b + 5 c - 5 2 a - 3 b + c = 3 - 5 2

2 a - 3 b + c = 2 - 7 a + 10 b = - 7

Vamos definir o a como a variável livre, então vamos isolar o b para saber quanto ele vale em função do a :

- 7 a + 10 b = - 7

10 b = 7 a - 7

b = 0 , 7 a - 0 , 7

Agora precisamos do valor de c , vamos usar a primeira equação para isso:

2 a - 3 0,7 a - 0,7 + c = 2

c = 2 - 2 a + 3 0,7 a - 0,7

c = 0,1 a - 0,1

Então a solução para esse sistema é:

a = a

b = 0,7 a - 0,7

c = 0,1 a - 0,1

Para qualquer valor de a .

Resposta

a = a

b = 0,7 a - 0,7

c = 0,1 a - 0,1

d = 0

Para qualquer valor de a .

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