Enunciado

Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:

A = 3 - 3 - 4 0 3 5 0 0 - 1

Passo 1

Para achar os autovalores e autovetores da matriz temos que calcular:

det ⁡ A - λ I

Veja bem, sabemos que λ I é a matriz identidade multiplicada por λ , assim:

λ I = λ ⋅ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

Vamos então agora calcular A - λ I :

A - λ I = 3 - 3 - 4 0 3 5 0 0 - 1 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ = 3 - λ - 3 - 4 0 3 - λ 5 0 0 - 1 - λ

Passo 2

Pronto, agora podemos calcular o determinante de det ⁡ A - λ I , vamos usar a Regra de Sarrus:

det ⁡ A - λ I = 0 → 3 - λ - 3 - 4 0 3 - λ 5 0 0 - 1 - λ = 0 → 3 - λ 3 - λ - 1 - λ = 0

λ 1 = 3 e λ 2 = - 1

Temos que os autovalores de A são 3 e - 1 .

Passo 3

Agora vamos calcular os autovetores associados ao autovalor 3 :

T v = λ v → 3 - 3 - 4 0 3 5 0 0 - 1 x y z = 3 ⋅ x y z → 3 x - 3 y - 4 z 3 y + 5 z - z = 3 x 3 y 3 z

Temos então o sistema:

3 x - 3 y - 4 z = 3 x 3 y + 5 z = 3 y - z = 3 z

Isolando os termos vamos achar os valores:

z = 0

3 y + 5 z = 3 y → 0 = 0

3 x - 3 y - 4 z = 3 x → - 3 y - 4 z = 0 → y = 0

Pronto, assim temos:

x , 0,0 = x 1,0 , 0

Passo 4

Para os autovetores associados ao autovalor - 1 :

T v = λ v → 3 - 3 - 4 0 3 5 0 0 - 1 x y z = - 1 ⋅ x y z → 3 x - 3 y - 4 z 3 y + 5 z - z = - x - y - z

Temos então o sistema:

3 x - 3 y - 4 z = - x 3 y + 5 z = - y - z = - z

Isolando os termos vamos achar os valores:

z = z

3 y + 5 z = - y → 4 y + 5 z = 0 → z = - 4 y 5

3 x - 3 y - 4 z = - x → 4 x - 3 y - 4 z = 0 → 4 x = 3 y + 4 z → 4 x = 3 y + 4 - 4 y 5 →

→ 4 x = 3 y - 16 y 5 → 4 x = - y 5 → x = - 1 20 y

Pronto, assim temos:

- 1 20 y , y , - 4 y 5 = - y , 20 y , - 16 y = y - 1,20 , - 16

Então os autovetores são da forma:

v 1 = 1,0 , 0 e v 2 = - 1,20 , - 16

Resposta

λ 1 = 3 e λ 2 = - 1

v 1 = 1,0 , 0 e v 2 = - 1,20 , - 16

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