Enunciado

Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas:

T : R 2 → R 2 tal que T x , y = ( 2 y , x )

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Sendo:

T 1,0 = 0,1 = 0 1 , 0 + 1 ( 0 , 1 )

T 0,1 = 2,0 = 2 1 , 0 + 0 ( 0 , 1 )

Temos:

T = 0 1       2 0

Lembrando que det ⁡ T - λ I = 0 . Como λ I = λ . Temos que:

0 - λ 1       2 0 - λ = λ 2 - 2 = 0

λ = ± 2

λ 1 = - 2

λ 2 = 2

Passo 2

Multiplicando a matriz de transformação pelo vetor v , temos:

Para λ 1 = - 2 :

0 1       2 0 x y = - 2 x y

2 y = - 2 x

x = - 2 y

Logo, a combinação que gera o espaço vetorial V :

- 2 y , y = y - 2 , 1

O autovetor:

v 1 = - 2 , 1

Assim, dizemos que V é gerado pelo autovetor v 1 , ou seja, V - 2 = - 2 , 1 , quando λ = - 2 .

Para λ 2 = 2 :

0 1       2 0 x y = 2 x y

2 y = 2 x

x = 2 y

Logo, a combinação que gera o espaço vetorial V :

2 y , y = y 2 , 1

O autovetor:

v 2 = 2 , 1

Assim, dizemos que V é gerado pelo autovetor v 2 , ou seja, V 2 = 2 , 1 , quando λ = 2 .

Resposta

v 1 = - 2 , 1   p a r a   λ = - 2  

v 2 = 2 , 1   p a r a   λ = 2  

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