Enunciado

Entre os operadores dos exercícios 2 a 8 da seção 6.3 verifique quais são diagonalizáveis.

7 )   T : R 4 → R 4 : T x , y , z , w = ( x , x + y ,   x + y + z ,   x + y + z + w )

Passo 1

Pra gente ver se o operador é diagonalizável, precisamos calcular os autovalores e autovetores dele. E aí, se a matriz do operador for de ordem n e acharmos n autovetores, então podemos dizer que o operador é diagonalizável, belezura?

Vamos começar escrevendo a matriz da transformação.

T x , y , z , w = ( x , x + y ,   x + y + z ,   x + y + z + w )

Então a nossa matriz fica:

T = 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

Passo 2

Beleza, agora a gente teria que calcular os autovalores e os autovetores, mas vamos aproveitar o trabalho que já tivemos lá na seção 6.3 . A gente já calculou tudo isso! Mas só pra relembrar, vamos ver o passo a passo de como faria. Primeiro a gente calcula o determinante de T - λ I . Isso vai dar uma equação polinomial que tem os autovalores como raízes. Depois a gente substitui cada um deles na equação:

T - λ I v = 0

Com isso a gente vai encontrar os autovetores!

Nessa questão,

1 - λ 0 0 0 1 1 - λ 0 0 1 1 1 - λ 0 1 1 1 1 - λ = 0

Como a matriz é triangular, o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal!

1 - λ 4 = 0

Com isso, só achamos um autovalor:

λ = 1

Agora a gente substitui e encontra o autovetor, mas vamos aproveitar que já temos a resposta lá da outra seção:

λ = 1 : v = ( 0 ,   0 ,   0 ,   1 )

Passo 3

E então, pra concluir, nossa matriz é de ordem 4 , e encontramos 1 autovetor só, certo? Portanto, a gente pode dizer que o nosso operador não é diagonalizável!

Resposta

Não é diagonalizável.

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