Enunciado

Dê quando possível, exemplos de transformações lineares T , S , L , M   e   H satisfazendo:

  1. T : R 3 → R 2 , sobrejetora.
  2. S : R 3 → R 2 , com ker ⁡ S = 0,0 , 0
  3. L : R 3 → R 2 , com I m   L = 0,0
  4. M : R 2 → R 2 , com ker ⁡ M = x , y ∈ R 2 ; x = y
  5. H : R 3 → R 3 , com ker ⁡ H = x , y , z ∈ R 3 ; z = - x .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Item a:

T : R 3 → R 2 , sobrejetora:

A projeção de um vetor no R 3 em R 2 .

R 3 → R 2

Passo 2

Item b:

S : R 3 → R 2 , com ker ⁡ S = 0,0 , 0 :

Esta condição é impossível, pois a dimensão do domínio deve ser igual à dimensão do núcleo mais a da imagem, e nesse caso, a dimensão da imagem é no máximo 2.

Passo 3

Item c:

L : R 3 → R 2 , com I m   L = 0,0 :

Podemos considerar o mapa nulo:

L x , y , z = ( 0,0 )

Assim, todo vetor do R 3 está no núcleo.

Passo 4

Item d:

M : R 2 → R 2 , com ker ⁡ M = x , y ∈ R 2 ; x = y :

Podemos definir o mapa M como:

M x , y = ( x - y , y - x )

Passo 5

Item e:

H : R 3 → R 3 , com ker ⁡ H = x , y , z ∈ R 3 ; z = - x :

Podemos definir o mapa H como:

H x , y , z = ( x + z , x + z + x + z )

Resposta

a ) A projeção de um vetor no R 3 em R 2 .

R 3 → R 2

b ) Esta condição é impossível, pois a dimensão do domínio deve ser igual à dimensão do núcleo mais a da imagem, e nesse caso, a dimensão da imagem é no máximo 2.

c )   L x , y , z = ( 0,0 )

d )   M x , y = ( x - y , y - x )

e )   H x , y , z = ( x + z , x + z + x + z )

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