Enunciado

Ache o centro e o raio da circunferência, intercessão das superfícies esféricas sejam x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 2 y - 14   = 0 e x 2 + y 2 + z 2 + 4 y - 2 z - 4 = 0 .

Passo 1

Fala galera! Vamos começar escrevendo as equações das esferas em sua forma reduzida:

S 1 : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 2 y - 14   = 0

⇒ x 2 - 2 x + 1 - 1 + y 2 + 2 y + 1 - 1 +   z 2 - 14 = 0   s o m a n d o   e   s u b t r a i n d o   1   d u a s   v e z e s

⇒ ( x   - 1 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + z 2 = 16

Com isso, descobrimos o raio e o centro da primeira esfera: r 1 = 4 e C 1 = ( 1 , - 1,0 )

S 2 :   x 2 + y 2 + z 2 + 4 y - 2 z - 4 = 0

⇒ x 2 + y 2 + 4 y + 4 - 4 + z 2 - 2 z + 1 - 1   - 4 = 0     s o m a n d o   e   s u b t r a i n d o   4   e   1

⇒   x 2   +   ( y   + 2 ) 2   +   ( z   - 1 ) 2     =   9

Agora, descobrimos que o raio e o centro da segunda esfera que são: r 2 = 3 e C 2 = ( 0 , - 2,1 ) .

Para mostrar que a interseção entre as duas esferas é uma circunferência, temos que mostrar que a distância entre os dois centros é menor que a soma dos raios das duas esferas. Então, vamos começar calculando a distância entre os centros:

d ( C 1 , C 2 )   =   ( x 2   - x 1 ) 2   +   ( y 2   - y 1 ) 2   +   ( z 2   - z 1 ) 2

⇒ d ( C 1 , C 2 )   =   ( 0 - 1 ) 2   +   ( - 2   - ( - 1 ) ) 2   +   ( 1 - 0 ) 2  

⇒ d ( C 1 , C 2 )   =   1   +   1 + 1 = 3

Por outro, a soma dos raios é dada por:

d   =   r 1   +   r 2   =   4   +   3   =   7 > 3   ⇒ d   > d ( C 1 , C 2 )   .

Com isso, vemos que a distância entre os dois centros é menor que a soma dos dois raios. Assim, fica provado que a interseção é uma circunferência.

Passo 2

Como a interseção entre as esferas é uma circunferência, então temos que calcular o centro da circunferência e seu raio. Nesse caso, a única dificuldade é determinar a distância entre um dos centros da esfera e o centro da circunferência. Vamos começar escolhendo o centro da segunda esfera como referência. Vamos ver como essa interseção fica quando olhamos de cima:

É possível notar que a distância de interseção d ' será dada por:

r 1 2 = r ' 2 + d ' 2

r 2 2 = r ' 2 + [ d ' - d ( C 1 , C 2 ) ] 2 = r ' 2 + d 2 - 2 d d ' + d ' 2

Agora a gente subtrai a segunda equação da primeira:

r 1 2 - r 2 2 = - d 2 + 2 d d ' ⇒ 2 d d ' = r 1 2 - r 2 2 + d 2 ⇒ d ' = r 1 2 -   r 2 2 + d 2 2 d

A partir dessa distância, podemos obter o raio da circunferência a partir da seguinte equação:

r 1 2   =   d ' 2   + r ' 2 ⇒ r ' 2     = ( 4 ) 2     - ( 16   - 9     +   3 2 3 ) 2  

⇒ r ' = 16   - 25 3   = 48 - 25 3    

⇒ r ' =   23 3

Passo 3

Agora iremos calcular o centro da circunferência e, para isso, utilizaremos uma reta ligando os pontos C 1 e C 2 . O vetor diretor dessa reta será é dado por:

v → = C 1 C 2 → = C 2 - C 1 = ( 0 , - 2,1 ) - ( 1 , - 1,0 ) = ( - 1 , - 1,1 )

Assim, se considerarmos a reta saindo de C 1 = ( 1 , - 1,0 ) , teremos as equações paramétricas ( 1 - t , - 1 - t , t ) . Temos que descobrir para qual valor de t a reta se encontra no ponto C ' . Nesse caso, temos um vetor que sai C 1 até C ' = ( 1 - t , - t , t ) cujo módulo vai ser igual a distância entre C 1 e C ' :

C 1 C ' → = ( 1 - t , - 1 - t , t ) - ( 1 , - 1,0 ) = ( - t , - t , t )

( - t ) 2   + ( - t ) 2 + ( t ) 2   = d '   = 5 3  

⇒ t 2   + t 2 + t 2   = 25 3

⇒ 3 t 2 = 25 3 ⇒ t = 5 3

Agora, substituímos esse valor no ponto C ' :

C ' =   C 1 C ' → +   C 1 = ( - 5 3 , - 5 3 , 5 3 ) +   ( 1 , - 1,0 ) = ( - 2 3 , - 8 3 , 5 3 )

Resposta

( - 2 3 , - 8 3 , 5 3 ) e 23 3

Exercícios de Livros Relacionados

Obtenha a equação reduzida da superfície esférica de centro C e raio ρ . C = 1 ,- 1 ,3 ,ρ = 2 . C = 0,0 , 0 , ρ = 1 . C = 2 ,1 ,- 3 ,ρ = 2 . C = 18 , - 1 , - 1 ,ρ = 50 . C = 0,1 , 0 ,ρ = 4 .
Sejam S 1 : x 2 + y 2 + z 2 + 6 x + 4 y + 8 z + 4= 0 e S 2 :x 2 + y 2 + z 2 + 12 x - 8 y + 4 z + 24 = 0 . Mostre que a interseção de S 1 e S 2 é uma circunferência e calcule o seu centro e raio.
Pelos pontos de interseção da reta X=( - 5 , - 11,9 )+ t ( 3,5 , - 4 ) e da superfície esférica ( x + 2 ) 2+( y - 1 ) 2 + ( z + 5 ) 2= 49 passam planos tangentes à superfície esférica. Determine uma e
Sejam S :x 2 + y 2+ z 2- 8 x- 10 y- 8 z+30=0 e S ' :x 2+ y 2+z 2 + 2 x+ 2 z= 10 . Ache a superfície esférica S ' ' , de maior raio, que seja tangente a S e S ' e tal que os centros de S , S ' e S ' '