Enunciado

1. (a) Mostre que a matriz

A = 4 5 0 - 3 5 - 9 25 4 5 - 12 25 12 25 3 5 16 25

é ortogonal de três maneiras: calculando A T A , usandoa parte b do Teorema 7.1.1 e usando a parte ( c ) do Teorema 7.1.1

(b) Encontre a inversa da matriz A da parte ( a )

Passo 1

Opaaa.. belezinha??

(a)

Nessa questão vamos precisar mostrar que a matriz A é ortogonal de três maneiras, certo? Mas cê lembra o que isso quer dizer??

Então, pra matriz A ser ortogonal a transposta de A deve ser igual à inversa:

A T = A - 1

E vamos precisar lembrar também que a inversa da matriz vezes ela dá a identidade:

A - 1 A = A A - 1 = I

Então bora lá...

Passo 2

Primeiro vamos mostrar calculando A T A . Então, como A T = A - 1 , a gente tem que encontrar a matriz identidade, certo? Daí fica mostrado.

A transposta de A :

A T = 4 5 - 9 25 12 25 0 4 5 3 5 - 3 5 - 12 25 16 25

Fazendo a multiplicação:

A T A = 4 5 - 9 25 12 25 0 4 5 3 5 - 3 5 - 12 25 16 25 4 5 0 - 3 5 - 9 25 4 5 - 12 25 12 25 3 5 16 25

Vamos representar por letrinhas pra ficar mais arrumadinho e menos amontoado:

A T A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

E calculando os termos da matriz:

a 11 = 4 5 4 5 + - 9 25 - 9 25 + 12 25 12 25 = 1

a 12 = 4 5 0 + - 9 25 4 5 + 12 25 3 5 = 0

a 13 = 4 5 - 3 5 + - 9 25 - 12 25 + 12 25 16 25 = 0

a 21 = 0 4 5 + 4 5 - 9 25 + 3 5 12 25 = 0

a 22 = 0 0 + 4 5 4 5 + 3 5 3 5 = 1

a 23 = 0 - 3 5 + 4 5 - 12 25 + 3 5 16 25 = 0

a 3 1 = - 3 5 4 5 + - 12 25 - 9 25 + 16 25 12 25 = 0

a 3 2 = - 3 5 0 + - 12 25 4 5 + 16 25 3 5 = 0

a 3 3 = - 3 5 - 3 5 + - 12 25 - 12 25 + 16 25 16 25 = 1

Substituindo na matriz:

A T A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Oh.... deu a matriz identidade. Então conseguimos mostrar que A   é ortogonal.

Passo 3

Agora usando a parte (b) do Teorema 7.1.1, que diz:

“Os vetores linha de A formam um conjunto ortonormal de R n em relação ao produto interno euclidiano.”

E isso quer dizer que os vetores linham são perpendiculares entre si (ortogonais). Pra mostrar isso a gente faz o produto interno euclidiano (que é o produto interno basicão que a gente conhece) e tem que dar igual a zero.

Maaaas repara só que no teorema ele fala que é um conjunto ortoNORMAL, certo? E isso que dizer que a norma de cada vetor (o tamanho de cada vetor) é igual a 1.

Vamos mostrar isso, então.

Pegando os vetores linha de A :

v 1 = 4 5 , 0 , - 3 5

v 2 = - 9 25 , 4 5 , - 12 25

v 3 = 12 25 , 3 5 , 16 25

Agora vamos fazer o produto interno deles dois a dois:

v 1 ⋅ v 2 = 4 5 - 9 25 + 0 4 5 + - 3 5 - 12 25 = 0

v 1 ⋅ v 3 = 4 5 12 25 + 0 3 5 + - 3 5 16 25 = 0

v 2 ⋅ v 3 = - 9 25 12 25 + 4 5 3 5 + - 12 25 16 25 = 0

Show... mostramos que os produtos internos são iguais a zero. Agora só falta calcular a norma de cada vetor:

v 1 = 4 5 2 + 0 2 + - 3 5 2 = 1

v 2 = - 9 25 2 + 4 5 2 + - 12 25 2 = 1

v 3 = 12 25 2 + 3 5 2 + 16 25 2 = 1

Prontoo... conseguimos mostrar que a norma de cada vetor é igual a 1 também.

Conseguimos mostrar com isso tudoooo que os vetores linha de A formam um conjunto ortonormal de R n em relação ao produto interno euclidiano, então A é uma matriz ortogonal.

Passo 4

Agora só falta a terceira parte. A parte (c) do teorema 7.1.1 diz:

“Os vetores coluna de A formam um conjunto ortonormal de R n em relação ao produto interno euclidiano.”

Então é isso mesmo, vai ser um repeteco dessa ladainha tooooda do passo 3, mas agora com os vetores coluna de A .

Os vetores coluna de A :

v 1 = 4 5 , - 9 25 , 12 25

v 2 = 0 , 4 5 , 3 5

v 3 = - 3 5 , - 12 25 , 16 25

Fazendo os produto interno, dois a dois:

v 1 ⋅ v 2 = 4 5 0 + - 9 25 4 5 + 12 25 3 5 = 0

v 1 ⋅ v 3 = 4 5 - 3 5 + - 9 25 - 12 25 + 12 25 16 25 = 0

v 2 ⋅ v 3 = 0 - 3 5 + 4 5 - 12 25 + 3 5 16 25 = 0

O produto interno dos vetores deu 0.

Agora vamos calcular a norma de cada vetor coluna:

v 1 = 4 5 2 + - 9 25 2 + 12 25 2 = 1

v 2 = 0 2 + 4 5 2 + 3 5 2 = 1

v 3 = - 3 5 2 + - 12 25 2 + 16 25 2 = 1

E a norma de cada vetor deu 1 também.

E com isso também conseguimos mostrar que os vetores coluna de A formam um conjunto ortonormal de R n em relação ao produto interno euclidiano, então A é uma matriz ortogonal.

Resposta

Demonstração.

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3. Em cada parte, determine se a matriz é ortogonal. Se for, obtenha a inversa.(a) 1 0 0 1 (b) 1 2 - 1 2 1 2 1 2 (c) 0 1 1 2 1 0 0 0 0 1 2 (d) - 1 2 1 6 1 3 0 - 2 6 1 3 1 2 1 6 1 3 (e) 1 2 1 2 1 2 1 2
5. Verifique que as matrizes de reflexão nas Tabelas 1 e 2 da Seçao 4.9 são orgtonais.
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