Exercícios de Bases Ortogonais e Ortonormais - Lista de Exercícios Resolvida
Questão 1
Uma matriz é chamada de permutação se em cada linha e em cada coluna há um único e as demais entradas são zeros. Afirma-se:
- Se é uma matriz de permutação, então .
- Se , então é uma matriz de permutação.
I e II são verdadeiras
I é falsa e II é verdadeira
I é verdadeira e II é falsa
I e II são falsas
Ver solução completaQuestão 3
O conjunto é uma base ortogonal do em relação ao produto interno
Determinar o valor de e obter, a partir de , uma base ortonormal.
Ver solução completaQuestão 4
Em um espaço com e , o produto interno é definido como .
Nesse espaço, é dada a base
Dê os valores de e para que a base seja ortogonal.
Ver solução completaQuestão 5
Sejam e . Considere os vetores , versor de , versor de e . Mostre que é uma base ortonormal.
(O versor de um vetor é um vetor unitário com mesma direção e sentido que ).
Ver solução completaQuestão 6
Dada a base , ortonormal em relação a um certo produto interno, dê a fórmula desse produto interno.
DICA: Escreva como combinação linear dos vetores da base
Ver solução completaQuestão 7
Dadas as afirmativas:
I – Dados , e , o conjunto forma uma base ortogonal.
II – A matriz é dita ortogonal.
III – Para transformar a base em ortonormal, basta dividir seus vetores, respectivamente, por , e .
Estão corretas apenas as afirmativas:
a) I
b) II
c) III
d) I e II
e) I e III
f) II e III
g) I, II e III
Ver solução completaQuestão 8
Determinar os vetores para que o conjunto seja uma base ortogonal do em relação ao produto interno usual. Construir a partir de uma base ortonormal.
Ver solução completaQuestão 9
Seja uma base ortogonal de . Considere e denote as coordenadas de com relação à base por . Então vale:
- .
- .
- .
Questão 10
Assinale abaixo o conjunto que é uma base ORTOGONAL para o núcleo da matriz:
(a)
(b)
(c)
(d)
Ver solução completaQuestão 12
Seja uma base ortonormal. Sejam e . Considere os vetores , versor de , versor de e . Mostre que a sequência é uma base ortonormal.
(Lembre que o versor de um vetor é um vetor unitário com mesma direção e sentido que ).
Ver solução completaQuestão 13
Uma matriz é dita ortogonal se a sua matriz inversa é igual a sua matriz transposta. A matriz é:
simétrica e invertível, mas não é ortogonal
simétrica, invertível e ortogonal
ortogonal e invertível, mas não é simétrica
simétrica, mas não é ortogonal e nem é invertível
Ver solução completaQuestão 14
Seja um subespaço de formado pelos vetores tais que
b) Determine uma base ortonormal para
Ver solução completaQuestão 15
Q11. Seja ume espaço vetorial de dimensão maior ou igual a 2 munido de um produto interno e denote por a norma correspondente. Assinale a alternativa contendo uma afirmação FALSA:
a) para quaisquer , se e forem ortogonais, então ;
b) para quaisquer , se for ortogonal a e se e forem linearmente dependentes, então ou ;
c) para quaisquer , se e forem ortogonais e , então ;
d) para quaisquer e , se , então ou ;
e) para quaisquer , se , e e forem ortogonais, então e serão linearmente independentes.
Ver solução completaQuestão 16
Considere a base ortonormal de
Os vetores estão escritos na canônica.
- Mostre que é uma base ortonormal de .
- Considere o vetor de cujas coordenadas na base canônica são . Determine a segunda coordenada do vetor na base .
- Determine explicitamente a matriz de mudança de base da base canônica à base .
- Determine explicitamente a matriz de mudança de base da base à base canônica.
Questão 17
Considere os vetores de cujas coordenadas na base canônica são
E o subespaço vetorial de gerado por estes vetores.
c) Determine uma base de tal que os vetores da base sejam unitários e verifiquem as seguintes propriedades:
- é paralelo a
- pertence ao plano gerado pelos vetores e e é perpendicular a
- é perpendicular aos vetores e .
Questão 18
06) Considere em o produto interno definido por:
Considere o subespaço de e o polinômio Se , em que é o elemento de que satisfaz , para todo , , então é igual a:
A)
B)
C)
D)
E)
Ver solução completaQuestão 19
Seja um espaço vetorial com definido, mas não informado aqui. Seja uma base de . Se , e , então é base ortonormal em relação ao de ?
Ver solução completaQuestão 20
Considere as afirmativas:
(I) Se as colunas da matriz A de formato formam um conjunto ortonormal, então
(II) Sejam e , onde . Então é um conjunto ortogonal.
(a) (I) e (II) são falsas.
(b) (I) e (II) são verdadeiras.
(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.
(d) (I) é falsa e (II) é verdadeira.
Ver solução completaQuestão 21
Em , considere o produto interno usual. Seja a base canônica de e o operador linear dado por
Determine se o operador é ortogonal.
Ver solução completaQuestão 22
Sabendo que a base é ortonormal em relação a um certo produto interno. Determine a fórmula desse produto interno.
DICA: Escreva como combinação linear dos vetores da base
Ver solução completaQuestão 23
Uma matriz é chamada de permutação se em cada linha e em cada coluna há um único e as demais entradas são zeros. Afirma-se:
- Se é uma matriz de permutação, então .
- Se , então é uma matriz de permutação.
I e II são verdadeiras
I é falsa e II é verdadeira
I é verdadeira e II é falsa
I e II são falsas
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