Enunciado

3. Em cada parte, determine se a matriz é ortogonal. Se for, obtenha a inversa.

(a) 1 0 0 1 (b)   1 2 - 1 2 1 2 1 2

(c) 0 1 1 2 1 0 0 0 0 1 2 (d) - 1 2 1 6 1 3 0 - 2 6 1 3 1 2 1 6 1 3

(e) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 - 5 6 1 6 1 6 1 2 1 6 1 6 - 5 6 1 2 1 6 - 5 6 1 6 (f) 1 0 0 0 0 1 3 - 1 2 0 0 1 3 0 1 0 1 3 1 2 0

Passo 1

(a) Uma matriz é ortogonal, se

A A T = A T A = I

Passo 2

Primeiro o que é matriz transposta, é a troca das linhas pelas coluna

A = a b c d e f g h i

A T = a d g b e h c f i

Segundo, precisamos saber quem é a matriz identidade

I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Passo 3

Calculando a transposta de A

A = 1 0 0 1

A T = 1 0 0 1

Passo 4

Retornando para

A T A = I

A T A = 1 0 0 1 ∙ 1 0 0 1

Passo 5

Relembrando como realizar a multiplicação entre matrizes: multiplica a linha da primeira matriz pela linha da segunda matriz e soma-os

C = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 e D = b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33

C ∙ D = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∙ b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33

= a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b 32 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 13 + a 33 b 23 + a 33 b 33

Passo 6

Calculando:

A T A = 1 0 0 1 ∙ 1 0 0 1

= 1 ∙ 1 + 0 ∙ 0 1 ∙ 0 + 0 ∙ 1 0 ∙ 1 + 1 ∙ 0 0 ∙ 0 + 1 ∙ 1

A T A = 1 + 0 0 + 0 0 + 0 0 + 1

A T A = 1 0 0 1

Então, temos

A T A = I

Passo 7

Como a matriz A é ortogonal, temos que por definição

A - 1 = A T

Temos que

A T = 1 0 0 1

Então

A - 1 = 1 0 0 1

Resposta

A - 1 = 1 0 0 1

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7. Em cada parte, mostre que o conjunto de vetores dado é ortogonal com o produto interno euclidiano e converta-o num conjunto ortonormal normalizando os vetores.(a) - 1,2 , 6,3 (b) 1,0 , - 1 , 2,0 ,
2. Quais dos conjuntos de vetores do exercício 1 são ortonormais em relação ao produto interno euclidiano de R 2 ?
5. Em cada parte, decida se o conjunto de polinômios dado é ortogonal em relação ao produto interno de P 2 discutido no Exemplo 7 da Seção 6.1.(a) p → 1 x = 2 3 - 2 3 x + 1 3 x 2 ,p → 2 x = 2 3 + 1 3
4. Quais dos conjuntos de vetores do Exercício 3 são ortonormais em relação ao produto interno euclidiano de R 3 ?
1. Em cada parte, decida se o conjunto de vetores dado é ortogonal em relação ao produto interno euclidiano de R 2 .(a) 0,1 , 2,0 (b) - 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 (c) - 1 2 , - 1 2 , 1 2 , 1 2 (d) 0,0 , 0,