Enunciado

Associe a cada equação de cônica da coluna da esquerda as equações de cônicas congruentes a ela da coluna da direta.

(a) 4 x 2 + y 2 + 8 x - 10 y + 13 = 0 (A) y 2 - 4 x = 0

(b) 4 x 2 - 3 y 2 + 24 x - 12 y + 17 = 0 (B) x 2 + y 2 + 1 = 0

(c) 4 x 2 - 5 y 2 + 12 x + 40 y + 29 = 0 (C) 4 x 2 - 5 y 2 + 100 = 0

(d) y 2 - 4 x + 10 y + 13 = 0 (D) 4 x 2 + y 2 - 16 = 0

(e) 4 x 2 - 12 x y + 9 y 2 - 8 13 x - 14 13 y + 117 = 0 (E) x 2 + 2 y 2 = 2

(f) 3 x 2 - 2 x y + 3 y 2 + 2 2 x - 6 2 y + 2 = 0 (F) 4 x 2 - 3 y 2 - 7 = 0

(g) 6 x 2 - 4 x y + 9 y 2 - 20 x - 10 y - 5 = 0 (G) x 2 - 1 = 0

(h) 25 x 2 + 20 x y + 4 y 2 + 30 x + 12 y - 20 = 0 (H) x 2 + 2 y 2 - 6 = 0

Passo 1

(a) Começando pelo primeiro item:

4 x 2 + y 2 + 8 x - 10 y + 13 = 0

Temos que nos livrar dos termos lineares, então temos que usar o método de completar quadrados.

Dê uma olhada nesse produto notável:

4 x + 1 2 = 4 x 2 + 8 x + 4

Somando 4 nos dois lados da equação:

4 x 2 + y 2 + 8 x - 10 y + 13 + 4 = 4

4 x + 1 2 + y 2 - 10 y + 13 = 4

E para as variáveis que dependem de y , vamos usar esse produto notável:

y - 5 2 = y 2 - 10 y + 25

Somando 25 dos dois lados:

4 x + 1 2 + y 2 - 10 y + 25 + 13 = 4 + 25

4 x + 1 2 + y - 5 2 + 13 = 29

4 x + 1 2 + y - 5 2 = 16

Agora vamos usar uma translação de coordenadas:

x ' = x + 1 y ' = y - 5

Então:

4 x ' 2 + y ' 2 = 16

Que é a equação (D).

Passo 2

(b) No segundo item:

4 x 2 - 3 y 2 + 24 x - 12 y + 17 = 0

Temos que usar o método de completar quadrados mais uma vez.

Dê uma olhada nesse produto notável:

4 x + 3 2 = 4 x 2 + 24 x + 36

Somando 36 nos dois lados da equação:

4 x 2 - 3 y 2 + 24 x - 12 y + 17 + 36 = 36

4 x + 3 2 - 3 y 2 - 12 y + 17 = 36

E para as variáveis que dependem de y , vamos usar esse produto notável:

- 3 y + 2 2 = - 3 y 2 - 12 y - 12

Subtraindo 12 dos dois lados:

4 x + 3 2 - 3 y 2 - 12 y + 17 - 12 = 36 - 12

4 x + 3 2 - 3 y + 2 2 + 17 = 24

4 x + 3 2 - 3 y + 2 2 = 7

Agora vamos usar uma translação de coordenadas:

x ' = x + 3 y ' = y + 2

Então:

4 x ' 2 - 3 y ' 2 = 7

Que é a equação (F).

Passo 3

(c) No terceiro item:

4 x 2 - 5 y 2 + 12 x + 40 y + 29 = 0

Vamos usar os mesmos métodos de antes. Para os valores que dependem de x , veja esse produto notável:

4 x + 3 2 2 = 4 x 2 + 12 x + 9

Somando 9 / 4 dos dois lados da equação:

4 x 2 - 5 y 2 + 12 x + 40 y + 29 + 9 = 9

4 x + 3 2 2 - 5 y 2 + 40 y + 29 = 9

E para as variáveis que dependem de y , vamos usar esse produto notável:

- 5 y - 4 2 = - 5 y 2 + 40 y - 80

Subtraindo 80 dos dois lados:

4 x + 3 2 2 - 5 y 2 + 40 y + 29 - 80 = 9 - 80

4 x + 3 2 2 - 5 y - 4 2 + 29 = - 71

Fazendo uma translação de coordenadas:

x ' = x + 3 2 y ' = y - 4

Então:

4 x ' 2 - 5 y ' 2 + 29 = - 71

4 x ' 2 - 5 y ' 2 = - 100

Que é a equação (C).

Passo 4

(d) No quarto item:

y 2 - 4 x + 10 y + 13 = 0

Vamos usar os mesmos métodos de antes. Mas dessa vez só precisamos eliminar os termos lineares em y :

y + 5 2 = y 2 + 10 y + 25

Somando 25 dos dois lados:

y 2 - 4 x + 10 y + 13 + 25 = 25

y + 5 2 - 4 x + 13 = 25

y + 5 2 - 4 x = 12

Fazendo uma translação de coordenadas:

x ' = x + 3 y ' = y + 5

Escolhemos essa translação de x ' para fazer com que aquele 12 suma do lado direito, então:

y ' 2 - 4 x ' - 3 = 12

y ' 2 - 4 x ' = 0

Que é a equação (A).

Passo 5

(e) No quinto item:

4 x 2 - 12 x y + 9 y 2 - 8 13 x - 14 13 y + 117 = 0

Vamos tentar eliminar esse termo misto com uma rotação. A forma da nossa equação é:

a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0         ⇒           a = 4 b = - 12 c = 9 d = - 8 13 e = - 14 13 f = 117

Para transformar isso em uma equação que tenha essa forma aqui:

a ' u 2 + c ' v 2 + d ' u + e ' v + f = 0  

Temos que fazer uma rotação por um ângulo θ que segue essa fórmula aqui:

cotg ⁡ 2 θ = a - c b = 4 - 9 - 12 = 5 12

E então o sen ⁡ 2 θ é:

sen ⁡ 2 θ = 1 1 + cotg 2 ⁡ 2 θ = 1 1 + 25 144

sen ⁡ 2 θ = 1 169 144 = 12 13

E agora temos que resolver o seguinte sistema:

a ' + c ' = a + c a ' - c ' = b sen ⁡ 2 θ

Substituindo os valores:

a ' + c ' = 4 + 9 a ' - c ' = - 12 ( 12 / 13 )

a ' + c ' = 13 a ' - c ' = - 13

Somando as duas equações:

a ' = 0

E substituindo na primeira equação:

0 + c ' = 13

c ' = 13

Então por enquanto nossa equação é:

13 v 2 + d ' u + e ' v + f = 0  

Tá, a gente poderia ir adiante agora, mas não é necessário! Aqui já deu pra ver que a nossa equação, depois de rotacionada, vai ter só um termo quadrático.

Com isso só sobrariam as alternativas (A) ou (G). Mas o nosso termo quadrático é o v , que está associado à variável y pela rotação:

x , y         → R o t a ç ã o   u , v

Ou seja, só pode ser a alternativa (A).

Então a equação (e) equivale à equação (A).

Passo 6

(f) No sexto item:

3 x 2 - 2 x y + 3 y 2 + 2 2 x - 6 2 y + 2 = 0

Vamos usar o mesmo método do item anterior:

3 x 2 - 2 x y + 3 y 2 + 2 2 x - 6 2 y + 2 = 0

Temos que eliminar esse termo misto com uma rotação. A forma da nossa equação é:

a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0         ⇒           a = 3 b = - 2 c = 3 d = 2 2 e = - 6 2 f = 2

Para transformar isso em uma equação que tenha essa forma aqui:

a ' u 2 + c ' v 2 + d ' u + e ' v + f = 0  

Temos que fazer uma rotação por um ângulo θ que segue essa fórmula aqui:

cotg ⁡ 2 θ = a - c b = 3 - 3 - 2 = 0

E então o sen ⁡ 2 θ é:

sen ⁡ 2 θ = 1 1 + cotg 2 ⁡ 2 θ = 1 1 + 0 = 1

E como sen ⁡ π 2 = 1 , a solução é:

2 θ = π 2         ⇒           θ = π 4

E agora temos que resolver o seguinte sistema:

a ' + c ' = a + c a ' - c ' = b sen ⁡ 2 θ

Substituindo os valores:

a ' + c ' = 3 + 3 a ' - c ' = - 2 sen ⁡ π / 2

a ' + c ' = 6 a ' - c ' = - 2

Somando as duas equações:

2 a ' = 4         ⇒           a ' = 2

E substituindo isso na segunda:

2 - c ' = - 2         ⇒           c ' = 4

E para encontrar d ' e e ' temos que usar outro sistema de fórmulas:

d ' = d cos ⁡ θ + e sen ⁡ θ e ' = - d sen ⁡ θ + e cos ⁡ θ

Substituindo d = 2 2 , e = - 6 2 e θ = π 4 . Lembrando que:

cos ⁡ θ = sen ⁡ θ = 1 2

d ' = 2 2 2 - 6 2 2 e ' = - 2 2 2 - 6 2 2

d ' = - 4 e ' = - 8

Substituindo tudo isso na equação:

a ' = 2 c ' = 4 d ' = - 4 e ' = - 8 f ' = f = 2

a ' u 2 + c ' v 2 + d ' u + e ' v + f = 0  

2 u 2 + 4 v 2 - 4 u - 8 v + 2 = 0  

Dividindo tudo por 2 :

u 2 + 2 v 2 - 2 u - 4 v + 1 = 0  

Completando quadrados, podemos escrever isso como:

u - 1 2 - 1 + 2 v - 1 2 - 2 + 1 = 0

u - 1 2 + 2 v - 1 2 = 2

Agora é só fazer uma translação de coordenadas:

u - 1 = x ' v - 1 = y '

Então:

x ' 2 + 2 y ' 2 = 2

Que é a equação da alternativa (E)!

Isso quer dizer que a equação (f) corresponde à equação (E).

Passo 7

(g) No sétimo item:

6 x 2 - 4 x y + 9 y 2 - 20 x - 10 y - 5 = 0

Vamos usar o mesmo método do item anterior:

6 x 2 - 4 x y + 9 y 2 - 20 x - 10 y - 5 = 0

Temos que eliminar esse termo misto com uma rotação. A forma da nossa equação é:

a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0         ⇒           a = 6 b = - 4 c = 9 d = - 20 e = - 10 f = - 5

Para transformar isso em uma equação que tenha essa forma aqui:

a ' u 2 + c ' v 2 + d ' u + e ' v + f = 0  

Temos que fazer uma rotação por um ângulo θ que segue essa fórmula aqui:

cotg ⁡ 2 θ = a - c b = 6 - 9 - 4 = 3 4

E então o sen ⁡ 2 θ é:

sen ⁡ 2 θ = 1 1 + cotg 2 ⁡ 2 θ = 1 1 + 9 16

sen ⁡ 2 θ = 1 25 / 16 = 4 5

E agora temos que resolver o seguinte sistema:

a ' + c ' = a + c a ' - c ' = b sen ⁡ 2 θ

Substituindo os valores:

a ' + c ' = 6 + 9 a ' - c ' = - 4 4 / 5

a ' + c ' = 15 a ' - c ' = - 5

Somando as duas equações:

2 a ' = 10         ⇒           a ' = 5

E substituindo isso na segunda:

5 + c ' = 15         ⇒           c ' = 10

E para encontrar cos ⁡ θ e sen ⁡ θ temos que usar outro sistema:

cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ = cotg ⁡ 2 θ sen ⁡ 2 θ sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ = 3 4 ∙ 4 5 = 3 / 5 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Somando as duas equações:

2 cos 2 ⁡ θ = 1 + 3 5         ⇒       cos ⁡ θ = 2 5

sen ⁡ θ = 1 - 4 5 = 1 5

E para encontrar d ' e e ' temos que usar outro sistema de fórmulas:

d ' = d cos ⁡ θ + e sen ⁡ θ e ' = - d sen ⁡ θ + e cos ⁡ θ

Substituindo d = - 20 , e = - 10 , cos ⁡ θ = 2 / 5 e sen ⁡ θ = 1 / 5 :

d ' = - 20 2 5   - 10 1 5 = - 50 5 = - 10 5 e ' = 20 1 5 - 10 2 5 = 0

E então por enquanto a nosa equação é:

a ' = 5 c ' = 10 d ' = - 10 5 e ' = 0 f ' = f = - 5

a ' u 2 + c ' v 2 + d ' u + e ' v + f = 0  

5 u 2 + 10 v 2 - 10 5 u - 5 = 0  

Dividindo tudo por 5 :

u 2 + 2 v 2 - 2 5 u - 1 = 0  

Agora vamos completar quadrados para eliminar os termos lineares:

u - 5 2 - 5 + 2 v 2 - 1 = 0

u - 5 2 + 2 v 2 = 6

Agora é só aplicar uma translação de coordenadas:

x ' = u - 5 y ' = v

x ' 2 + 2 y ' 2 = 6

Que é exatamente a equação da alternativa (H)!

Então a equação (g) corresponde à alternativa (H).

Passo 8

(h) E agora o último item:

25 x 2 + 20 x y + 4 y 2 + 30 x + 12 y - 20 = 0

Vamos usar o mesmo método do item anterior:

25 x 2 + 20 x y + 4 y 2 + 30 x + 12 y - 20 = 0

Temos que eliminar esse termo misto com uma rotação. A forma da nossa equação é:

a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0         ⇒           a = 25 b = 20 c = 4 d = 30 e = 12 f = - 20

Para transformar isso em uma equação que tenha essa forma aqui:

a ' u 2 + c ' v 2 + d ' u + e ' v + f = 0  

Temos que fazer uma rotação por um ângulo θ que segue essa fórmula aqui:

cotg ⁡ 2 θ = a - c b = 25 - 4 20 = 21 20

E então o sen ⁡ 2 θ é:

sen ⁡ 2 θ = 1 1 + cotg 2 ⁡ 2 θ = 1 1 + 441 400

sen ⁡ 2 θ = 1 841 / 400 = 20 29

E agora temos que resolver o seguinte sistema:

a ' + c ' = a + c a ' - c ' = b sen ⁡ 2 θ

Substituindo os valores:

a ' + c ' = 25 + 4 a ' - c ' = 20 20 / 29

a ' + c ' = 29 a ' - c ' = 29

Somando as duas equações:

2 a ' = 2 29         ⇒           a ' = 29

E substituindo isso na segunda:

29 + c ' = 29         ⇒           c ' = 0

E para encontrar cos ⁡ θ e sen ⁡ θ temos que usar outro sistema:

cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ = cotg ⁡ 2 θ sen ⁡ 2 θ sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ = 21 20 ∙ 20 29 = 21 29 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Somando as duas equações:

2 cos 2 ⁡ θ = 21 29 + 1         ⇒       cos ⁡ θ = 5 29

sen ⁡ θ = 1 - 25 29 = 2 29

E para encontrar d ' e e ' temos que usar outro sistema de fórmulas:

d ' = d cos ⁡ θ + e sen ⁡ θ e ' = - d sen ⁡ θ + e cos ⁡ θ

Substituindo d = 30 , e = 12 , cos ⁡ θ = 2 / 5 e sen ⁡ θ = 1 / 5 :

d ' = 30 5 29 + 12 2 29 = 174 29 = 6 29 e ' = - 30 2 29 + 12 5 29 = 0

E então por enquanto a nosa equação é:

a ' = 29 c ' = 0 d ' = 6 29 e ' = 0 f ' = f = - 20

a ' u 2 + c ' v 2 + d ' u + e ' v + f = 0  

29 u 2 + 0 v 2 + 6 29 u - 0 v - 20 = 0  

29 u 2 + 6 29 u - 20 = 0  

Vamos completar quadrados. Podemos transformar essa equação nessa outra aqui:

29 u + 3 29 2 - 9 - 20 = 0

29 u + 3 29 2 - 9 - 20 = 0

29 u + 3 29 2 = 29

Dividindo tudo por 29 :

u + 3 29 2 = 1

E agora é só aplicar uma translação de coordenadas:

x ' = u + 3 29

Ou seja, a nossa equação é:

x ' 2 = 1

x ' 2 - 1 = 0

E essa é a equação da alteranativa (G).

Então a equação (h) corresponde à alternativa (G).

Resposta

As correspondências são: a → D ; b → F ; c → C ; d → A ; e → A ; f → E ; g → H ; h → G .

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