Enunciado

Identifique a cônica, ache a equação no ultimo sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico. 2 1 x 2 + 6 x y + 13 y 2 = 132

Passo 1

Fala aeee, tudo na paz? 😊

Da equação da cônica tiramos que:

a = 2 1

b =   6

c = 1 3

Portanto:

A =   a b 2 b 2 c = 2 1 3 3 1 3

Passo 2

O polinômio característico será dado por:

P λ = det ⁡ A - λ I 2 = 2 1 - λ 3 3 1 3 - λ = λ 2 - 34 λ + 264

λ 2 - 34 λ + 264 = 0

Temos como raízes do polinômio:

λ 1 = 1 2

λ 2 = 22

Passo 3

Para determinarmos os vetores U   e   T .

Precisamos que:

A - 12 I 2 X   = 0 →

9 3 3 1 x y = 0 0

9 x + 3 y = 0

9 x = - 3 y

- 3 x = y

Solução Geral:

W = α , - 3 α ; α ∈ R

Passo 4

Como a norma de w vale 1:

W = 1

W 2 = 1

α 2 + 9 α 2 = 1

α =   ± 1 10

Assim, os eixos deslocados são expressos por:

U = 1 10 , 3 10

T = ( - 3 10 , 1 10 )

P = U , T = 1 10 - 3 10 3 10 1 10

Passo 5

Agora que eliminamos o termo x y , podemos escrever a equação da nossa cônica:

∁ : 21 x 2 + 6 x y + 13 y 2 = 132 →   λ 1 x 1 2 + λ 2 y 1 2 = 132

∁ : 12 x 1 2 + 22 y 1 2 = 132 ( ÷ 132 )

∁ : 1 1 1 x 1 2 + 1 6 y 1 2 = 1

Equação de uma elipse.

Passo 6

Gráfico da cônica:

Resposta

∁ : 1 11 x 1 2 + 1 6 y 1 2 = 1

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