Enunciado

Um babuíno de altura 4 circula por uma montanha, cujo perfil é a parte da hipérbole de equação x 2 - y 2 = 1 contida no primeiro quadrante. Um caçador, de espingarda, arma tocaia no ponto ( 0 , - 3 ) . Determine o trecho do perfil em que o babuíno estará seguro.

Passo 1

Vamos desenhar o que está sendo dito no enunciado para que não aconteça nenhuma confusão:

Aí basicamente ele quer saber em que ponto dessa montanha a cabeça do babuíno deverá estar para que o caçador consiga uma reta uma tangente com essa montanha para atingir o babuíno.

A equação da reta tangente será de:

h x - k y = 1

Onde ( h , k   ) é o ponto de tangência, e como esse ponto está na elipse, logo:

h 2 - k 2 = 1

E aplicando o ponto ( 0 , - 3 ) na primeira equação nós iremos ter:

3 k = 1

k = 1 3

Logo:

h 2 = 1 + 1 9 = 10 9

h = ± 10 3

Porém somente estaremos interessados no ponto positivo em x . Ou seja o ponto de tangencia está em:

10 3 , 1 3

Portanto a equação da reta tangente será:

10 3 x - y 3 = 1

Passo 2

Agora o ponto da elipse que está a uma distância de 4 (na vertical) da reta tangente da elipse será (igualando o x da hipérbole com o x da reta:

x r = 3 10 + y r 10

x h i p e r b o l e = 1 + y h 2

Onde y r = y h + 4 , logo:

3 10 + y h + 4 10 = 1 + y h 2

y h 2 + 14 y h + 49 10 = 1 + y h 2

Isso nos dá uma equação do segundo grau igual a:

9 y h 2 - 14 y h - 39 = 0

y h = 3 ; y h = - 1.444

Porém só nos interesse a parte positiva, então o x que o babuíno deve estar será em:

x h = 1 + 3 2 = 10

Não sei se ficou claro, mas já temos nossa região, para isso vamos desenhar tudo que dissemos até aqui. O traçado do tiro, a posição do macaco na montanha e o ponto do tiro.

O traçado é a linha roxa e o ponto de baixo é a posição limite do babuíno na montanha e o ponto de cima é o tiro na cabeça do animal. Então se o babuíno continuar a circundar a montanha ele estará totalmente seguro em um x > 10 se ele estiver em x = 10 ele já começa a ter perigo.

A dificuldade dessa questão é ver qual a região que o animal está, se ele estivesse abaixo da curva qualquer ângulo seria fácil pro atirador, e a questão tem que ter dificuldade hhaahah a outra é sobre a informação da altura do animal, essa eu confesso que tive dificuldade de entender mas entenda algo como se o macaco estivesse andando na normal a montanha e não no chão, como se todo o corpo dele estivesse andando pela montanha.

Resposta

E m   u m   x > 10   o   b a b u í n o   e s t a r á   s e g u r o

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