Enunciado

  1. Prove que uma reta paralela ao eixo de uma parábola tem com ela um único ponto comum
  2. Prove que, se P pertence a região focal da parábola P , então qualquer reta que contém P e não é paralela ao eixo da parábola é secante a P .

Passo 1

Em uma parábola y 2 = 4 p x nós temos que o eixo dessa parábola é o próprio eixo x então para uma reta paralela ao eixo x nós teremos a seguinte figura.

Todas essas retas paralelas cortam a parábola em apenas um ponto, tal como uma equação genérica igual a:

X = h , k + λ ( 1,0 )

Onde eu digo um ponto qualquer ( h , k ) e um tamanho λ qualquer e depois digo que esse vetor é paralelo ao eixo x , ou seja ele tem direção ( 1,0 ) . Isso me dará a equação genérica de todas as retas paralelas ao eixo x , que é o eixo dessa parábola.

Passo 2

  1. Sejam P : y 2 = 4 p x e P = ( h , k ) , em relação a um conveniente sistema ortogonal de coordenadas. Como P pertence a região focal, k 2 < 4 p h ; utilize [ 22 - 23 ] para provar que Δ > 0 , qualquer que seja o vetor ( m , n ) tal que n ≠ 0

Como dissemos no passo anterior a equação dessa parábola é algo como y 2 = 4 p x e P é um ponto com coordenadas iguais a ( h , k ) e a equação do determinante dessa parábola é dado por:

n 2 λ 2 + 2 k n - 2 p m λ + k 2 - 4 p h = 0

Δ = 4 k n - 2 p m 2 - n 2 k 2 - 4 p h

E por estar na região focal então | y p a r a b o l a | > | y P | , onde o y de qualquer ponto da parábola em x = h , ou seja

k 2 < 4 p h

Tal como foi provado na questão 51, então o termo n 2 k 2 - 4 p h é negativo o que anula com o sinal e nos dá Δ > 0 , logo se n não for zero (que daria os vetores paralelos ao eixo x , e não nos daria uma equação do segundo grau para λ ) nós teremos com certeza uma secante.

Resposta

a )   P a s s o   1

b )   P a s s o   2

Exercícios de Livros Relacionados

O semicírculo com diâmetro P Q está sobre um triangulo isósceles P Q R para formar uma região com um formato de sorvete, conforme mostra a figura. Se A ( θ ) for a área do semicírc...
46. Determine as forças no elemento G C da treliça e indique que se ele está sob tração ou compressão.
Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis dos raios:
Considere o trilho de uma estrada de ferro reta e horizontal com um vagão ferroviário de 50000kg se deslocando ao longo da linha férrea a uma velocidade constante de 15m/s. Determi...
Uma correia feita de material isolante, com 50   c m de largura, se move a uma velocidade de 30   m / s . A carga que a correia transporta até um aparelho de laboratório correspond...
Se A for uma matriz m × n e se o sistema linear A x = b for consistente com qualquer vetor b em R m , o que pode ser dito sobre a imagem de T A : R n → R m ?
(Requer cálculo) Seja V o espaço vetorial das funções reais com derivadas continuas de todas as ordens no intervalo   - ∞ ,   ∞ e W = F ( - ∞ ,   ∞ ) o espaço vetorial de todas as ...
Calcule a integral. ∫ z 3 e z   d z
Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3
Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →