Enunciado

Utilize a forma diagonal para encontrar A n nos seguintes casos ( n natural):

  1. A = - 3 4 - 1 2
  2. A = 0 7 - 6 - 1 4 0 0 2 - 2

Você pode generalizar o seu procedimento para o caso de uma matriz quadrada qualquer? Quais são as condições?

Passo 1

a)

Para encontrar a forma diagonal, vamos encotrar os autovalores:

λ + 3 - 4 1 λ - 2 = 0 ⇒ λ 2 + λ - 2 = 0

Logo, sua forma diagonal é:

B = 1 0 0 - 2

Sabemos que se uma matriz é diagonalizável, então existe uma matriz P tal que:

B = P - 1 A P

Veja então que:

A = P B P - 1

E podemos fazer:

A 2 = P B P - 1 P B P - 1 = P B 2 P - 1

Dai é só repetir o processo n vezes:

A n = P B n P - 1

Mas:

B n = 1 n 0 0 - 2 n

Agora é só achar P e P - 1 .

Como fazemos isso? Lembre-se que P é a matriz de mudança de base da base dos autovetores para a base canônica, isto é, seja c a base canônica e α a base dos autovetores:

v c = P v α

Isso nos permite dizer que as colunas de P são os vetores colunas autovetores de A na base canônica (verifique!).

Passo 2

Encontrando os autovetores, obtemos:

λ = - 2   ,     v 1 = 4 1  

λ = 1 ,     v 2 = 1 1  

Logo:

P = 1 4 1 1   e   P - 1 = - 1 3 4 3 1 3 - 1 3

Passo 3

b)

Basta repetir os mesmo passos do item anterior:

λ - 7 6 1 λ - 4 0 0 - 2 λ - 2 = - λ - 1 λ 2 - λ - 2 = 0

De autovalores { ± 1,2 } .

Calculando seus autovetores:

λ = 1 , v 1 =   9 2 3 2 1

λ = - 1 ,   v 2 = 5 2 1 2 1

λ = 2 ,   4 2 1

Disso, temos que:

0 7 - 6 - 1 4 0 0 2 - 2 = P - 1 1 0 0 0 - 1 0 0 0 2 P

E:

P = 9 2 5 2 4 3 2 1 2 2 1 1 1 ,   P - 1 = 1 - 1 - 2 - 1 3 - 1 3 2 - 2 3 4 3 1

Da nossa discussão anterior:

A n = P 1 0 0 0 - 1 n 0 0 0 2 n P - 1

Passo 4

A generalização está descrita no item a) e resumimos abaixo:

  1. Encontre os autovalores;
  2. Encontre os autovetores;
  3. A partir dos autovetores escontre as matrizes de mudança de base P e P - 1 ;
  4. Use que A = P d i a g A P - 1 ;
  5. Mulitiplique A por elas mesma n vezes: A n = P d i a g A n P - 1 .

Para que isso seja possível A deve ser diagonalizável.

Resposta

Demonstração.

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Estudar quanto à possibilidade de diagonalização as matrizes 1 0 0 m 2 0 n 0 2
Estudar quanto à possibilidade de diagonalização as matrizes A = 1 1 1 1 1 1 - 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 - 1 - 1 1
Determinar M ∈ M 2( R ) inversível tal que M - 1 A M seja diagonal onde 2 0 4 3 - 4 12 1 - 2 5
Determinar uma matriz M ∈ M 4( R ) , inversível, tal que M - 1 A M seja diagonal, sendo A = 0 1 5 9 2 1 6 8 0 0 0 3 0 0 1 - 2
Estudar quanto à possibilidade de diagonalização as matrizes A = - 1 - 4 - 2 - 2 - 4 - 1 - 2 - 2 2 2 1 4 2 2 4 1