Lista de Exercícios Resolvidos de Diagonalização

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Diga se a matriz abaixo é diagonalizável:

2 1 0 1

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Seja T : R 3 ⟶ R 3 dada por:

T x , y , z = ( x + 2 y ,   - 2 x + y ,   3 z )

a   Encontre os autovalores de T e os respectivos autoespaços.

b   A transformação T é diagonalizável? Se sim, dê sua forma diagonal.

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A matriz abaixo está fatorada na forma M D M - 1 . Sem fazer contas, determine os autovalores da matriz e bases para cada um dos autoespaços.

3 1 - 2 - 2 0 4 0 0 2 = 1 2 - 1 1 0 2 1 1 0 2 0 0 0 2 0 0 0 1 - 2 - 1 4 2 1 - 3 1 1 - 2

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Considere A x , y , z = x + y 2 , x + y 2 ,   z . Determine P e Q tais que:

a   P - 1 A P = 1 0 0 0 1 0 0 0 0

b   Q - 1 A Q = 1 0 0 0 0 0 0 0 1

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Considere as seguintes afirmações:

I Se todos os autovalores de uma matriz são distintos, então a matriz é diagonalizável.

I I Seja A uma matriz 4 × 4 não diagonalizável, então A possui 4 autovetores linearmente independentes.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

a   A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

b   A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

c   A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

d   A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

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Considere que a matriz abaixo é de uma transformação linear T : R 3 ⟶ R 3 e que α é a base canônica de R 3 :

T β α = 1 - 2 0 2 m 2 0 2 1

  1. Determine o polinômio característico de T .
  2. Para que valor(es) de m   a transformação T tem apenas um autovalor λ ? Determine o autoespaço V λ ;
  3. T   é diagonalizável para algum valor de m ?

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É dado que o conjunto dos autovalores da matriz A = - 3 2 2 2 1 - 2 - 4 2 3 é - 1,1 . Então:

(a) A não é diagonalizável

(b) A é uma reflexão ortogonal

(c) A é uma reflexão não ortogonal

(d) A é uma projeção

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Seja T : R 2 ⟶ R 2 uma transformação linear tal que T - 1,1 = 5 ( - 1,1 ) e T 1,2 = 1 5 1,2 . Seja A matriz de T   na base canônica. Calcule a soma dos elementos da primeira linha de A .

(a) 9 5

(b) - 5 3

(c) 0

(d)   1 5

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Dizemos que duas matrizes A , B ∈ M 2 × 2 ( R ) comutam se satisfazem A B = B A . Considere o conjunto C ( A ) de todas as matrizes que comutam com A

C A = B ∈ M 2 × 2 R A B = B A }

Considere agora o caso particular das matrizes A = 1 - 1 - 4 1 e D = 3 0 0 - 1 .

( c ) Mostre que existe uma matriz P invertível tal que A = P D P - 1 .

(Observação: é possível mas não é necessário calcular a matriz P , nem P - 1 .)

( d ) Mostre que se uma matriz B comuta com D , então B é diagonal.

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Sejam A =   1 0 0 2 0 0 0 1 0 e A t sua transposta.

Considere   T : R ³ → R ³ a transformação linear cuja matriz, na base canônica R ³ , é a matriz

T = A A t .

e) T é injetora?

f) T é ortogonalmente diagonalizável? Se sua resposta foi afirmativa, diagonalize T ortogonalmente. Se sua resposta foi negativa, justifique.

g) Considere a transformação composta F = T O T . Existe uma base ortonormal de R ³ , feita de autovetores F?

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Seja T : R 3 → R 3 uma transformação linear dada por:

T x , y , z = ( x + 3 y - 4 z , y , 2 y - 3 z )

(a) Calcular os autovalores de T.

(b) Calcular os autovetores de T.

(c) T é diagonalizável? Justificar. Em caso afirmativo, encontre uma base na qual a matriz de T é uma matriz diagonal D. E exiba D.

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Considere a função D : P 3 ⟶ P 3 definida por:

D a + b x + c x 2 + d x 3 = b + 2 c x + 3 d x 2

(Observe que D é a transformação que deriva o polinômio)

( d ) D é diagonalizável? Justifique:

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Seja T : U ⟶ U uma transformação linear. Usaremos as notações T 2 = T ∘ T e T 3 = T ∘ T ∘ para denotar composições de T . Suponha que:

  1. T 3 v = 0 para todo v ∈ U ,
  2. Existe v 0 ∈ U tal que T 2 v 0 ≠ 0

Chamamos esse tipo de transformação de nilpotente de ordem 3 .

b   Mostre que 0 é o único autovalor de T

(Dica: comece com um autovetor de T .)

c   Mostre que T não é diagonalizável .

(Dica: como seria a matriz de T se fosse diagonalizável?)

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Seja T : R 3 ⟶ R 3 a reflexão (espelhamento) em relação ao plano π e

T γ = - 1 0 - 2 2 1 2 0 0 1

A matriz de T na base γ = { v 1 ,   v 2 , v 3 } de R 3 .

( c ) Sabendo que δ = { u 1 , u 2 , u 3 } é uma base de R 3 cujos elementos são autovetores de T , sendo u 1 e u 2 associados ao mesmo autovalor, encontre T δ .

( d ) Dê um exemplo de um subespaço vetorial H de R 3 tal que as duas seguintes condições sejam satisfeitas:

  • H não é autoespaço de T , mas é invariante por T
  • dim ⁡ H = 2

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Seja p A o polinômio característico da matriz A .

Assinale a alternativa FALSA:

( a ) As raízes de p A são iguais às raízes de p A T

( b ) Se todas as raízes de p A são iguais então A é diagonalizável

( c ) Se todas as raízes de p A são complexas então A não tem autovetores

( d ) Se todas as raízes de p A são iguais então A tem autovetor

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Suponha, por simplicidade, que todo brasileiro ou vive no Brasil ou vive na Europa. Todo ano, 30 % dos brasileiros que vivem no Brasil emigram para a Europa, e 20 % dos brasileiros que vivem na Europa imigram de volta para o Brasil. Qual será a percentagem aproximada do conjunto total de brasileiros que, em dez anos, estarão vivendo na Europa?

  1. 60 % .
  2. 45 % .
  3. 51 % .
  4. 75 % .

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Sabe-se que A é uma matriz 5 × 5 diagonalizável e que seus autovalores são apenas 2 ,   3 e 4 . A única opção que PODE SER correta é:

  1. dim ⁡ i m a g e m A = 3
  2. dim ⁡ n u c l e o A - 2 I = 3
  3. dim ⁡ i m a g e m A = 4
  4. dim ⁡ n u c l e o A - 2 I = 4

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Se A 11 ,   3 = ( - 11 ,   - 3 )   e A 7 ,   2 = 7 ,   2 , assinale abaixo o vetor X → tal que A 2 X → = 2 ,   3

  1. 1 ,   3 .
  2. 3 ,   1 .
  3. 3 ,   2 .
  4. 2 ,   3 .

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QUESTÃO EXTRA

Seja A uma matriz quadrada, não-nula, e talque A v → . v → = 0 ,   ∀ v → :

  1. A é simétrica
  2. A é invertível
  3. A possui um autovalor positivo
  1. Apenas I é verdadeira
  2. Todas são falsas
  3. Apenas II é falsa
  4. Apenas III é verdadeira
  5. Apenas II é verdadeira
  6. Todas são verdadeiras
  7. Apenas I é falsa

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Seja T : R 2 → R 2 uma transformação linear tal que

  • T j = 2 ,   3
  • O vetor i é um autovetor de T e
  • O determinante de T é 4 . Determine:
  1. A matriz T ε   de T na base canônica;
  2. Uma forma diagonal D de T .

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Considere a transformação linear T : R 3 → R 3 cuja matriz na base canônica é:

T ε = 1 1 1 2 2 2 3 3 3

  1. Determine os autovalores de T .
  2. Determine se T é diagonalizável. Em caso afirmativo, determine uma forma diagonal de T . Em caso negativo, explique porque T não é diagonalizável.

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Seja A uma matriz não invertível que satisfaz A 1 ,   2 = 2 ,   4 , então:

  1. A é diagonalizável.
  2. A é ortogonal.
  3. A é diagonal.
  4. A é simétrica.

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Sejam 2   e - 5 autovalores de A , uma matriz 3 × 3 . Qual, dentre as condições abaixo, NÃO garante que a matriz A é diagonalizável?

  1. A não possui inversa.
  2. A possui inversa.
  3. dim ⁡ n u c l e o A + 5 I = 2 .
  4. dim ⁡ n u c l e o A - 4 I = 1 .

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Considere as afirmativas:

  1. Se T : R 6 → R 6 possui 6 autovalores distintos então T é diagonalizável.
  2. Se R : R 5 → R 5 é diagonalizável então R possui 5 autovalores distintos.
  1. (I) é falsa e (II) é verdadeira.
  2. (I) é falsa e (II) é falsa.
  3. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
  4. (I) é verdadeira e (II) é falsa.

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Considere a transformação linear T : R 3 → R 3 cuja matriz na base canônica é

T ε = 3 1 0 0 2 1 - 3 - 3 - 1  

E cujo polinômio característico é

p λ = - λ λ - 2 2

  1. Determine se existe a matriz inversa de T ε . Em caso afirmativo determine essa matriz. Justifique claramente sua resposta.
  2. Determine se T ε é diagonalizável. Em caso afirmativo determine uma forma diagonal de T . Em caso negativo justifique claramente porque não é diagonalizável.

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Considere a matriz

A = 1 2 - 2 0 - 1 1 - 4 0 0

Afirmamos que existem uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que

P - 1 A P = D

Qual dos itens abaixo nos dá P e D corretas?

( a ) P = 0 - 3 - 3 1 1 2 1 4 - 4 e D = - 3 0 0 0 3 0 0 0 0

( b ) P = 0 - 3 - 3 1 1 2 1 4 - 4 e D = 0 0 0 0 3 0 0 0 - 3

( c ) P = - 3 0 - 3 1 1 2 4 1 - 4 e D = - 3 0 0 0 3 0 0 0 0

( d ) P = - 3 0 - 3 1 1 2 4 1 - 4 e D = 0 0 0 0 3 0 0 0 - 3

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A dimensão da imagem de A é 2 e seu polinômio característico é p λ = - λ 2 λ - 1 . Assinale a alternativa VERDADEIRA

( a ) A dimensão do autoespaço associado ao autovalor 1 é igual a 2

( b ) A matriz A é diagonalizável

( c ) det ⁡ A + I = 0

( d ) A dimensão do autoespaço associado ao autovalor zero é igual a 1

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A dimensão do núcleo de A - 2 I é 1 e seu polinômio característico é p λ = λ - 2 2 λ + 2 . Assinale a alternativa VERDADEIRA:

a   A dimensão do autoespaço associado ao autovalor 2 é igual a 2

b   A matriz A é diagonalizável.

c det ⁡ A = 0

d   A dimensão do autoespaço associado ao autovalor 2 é igual a 1

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Seja T : R 3 → R 3 a transformação linear dada por T x , y , z = 2 x + z , 5 x - 3 y + z , - 3 z .

b T é diagonalizável? Se sim, encontre uma base β onde T β β é uma matriz diagonal.

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Considere a matriz A = 1 0 0 - 1 1 - 1 1 0 2 .

a Determine os autovalores de A .

b Para cada autovalor λ determine uma base para o autoespaço V λ correspondente (subespaço associado ao autovalor λ ).

c T é diagonalizável? Se sim, escreva uma base β do R 3 onde T é diagonalizável e determine a matriz T β β .

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Seja T : R 3 → R 3 um operador linear que tem 2 e 3 como autovalores e tal que os autoespaços correspondentes são V 2 = x , y , z : x + y + z = 0 e V 3 = x , x , - x : x ∈ R .

a T é diagonalizável? Em caso afirmativo, encontre uma base de R 3 formada por autovetores de T . Justifique.

b Dado x , y , z ∈ R 3 , determine T x , y , z

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Considere a transformação linear T :   R 3 → R 3 cuja matriz na base canônica α é dada por:

[ T ] α α = 1 0 2 0 1 1 0 0 2

a)Determine o polinômio característico e calcule os autovalores λ   de T .

b)Para cada autovalor λ de T determine o subespaço associado V λ .

c)   T é diagonalizável? Se sim, exiba uma base β de R 3 e [ T ] β β onde isso acontece.

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Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(a.1) Se T :   R 3 → R 3 é uma transformação linear tal que seu polinômio característico é p λ = - λ 3 - 4 λ ,   então T é diagonalizável.

(a.2) Se T :   R 3 → R 3 uma transformação linear tal que seu polinômio característico é p λ = - λ 3 - 4 λ ,   então d i m ( I m ( T ) ) =   2 .

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Seja A uma matriz 2 × 2   com autovalores 6   e 7 associados, respectivamente, aos autovetores ( 1 ,   1 ) e - 1,1 . Assinale a soma dos elementos da primeira coluna de A :

(a) - 1

(b) - 6

(c)   13

(d)   6

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Considere a reflexão R : R 3 → R 3   com relação à reta r   =   { t ( 3 ,   1 ,   1 ) | t   ∈ R } .

(a) Determine os autovalores de R   e os respectivos autoespaços.

(b) Determine a matriz canônica de R , ou seja, a matriz R ε onde ε = { ( 1 ,   0 ,   0 ) , ( 0 ,   1 ,   0 ) , ( 0 ,   0 ,   1 ) } .

(c) Determine N u c ( R ) e I m ( R ) .

(d) Diagonalize ortogonalmente R ε , ou seja, encontre uma matriz D diagonal, uma matriz P ortogonal e sua inversa tais que R ε   = P D P - 1 .

(e) Calcule R ε 20 e R ε 21 .

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Seja A = a 1 0 a a matriz associada a uma transformação linear T. Para quais valores de a T é diagonalizável?

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(I) A matriz 1 4 - 1 5 0 0 0 0 0 0 0 0     3 0     0 2 cujo polinômio característico é λ - 3 3 ( λ - 2 ) , é diagonalizável.

(II) Se uma matriz 3 × 3 tem polinômio característico ( 3 - λ ) ( 2 - λ ) ( 1 - λ ) , então é diagonalizável.

(a) (I) e (II) são falsas.

(b) (I) e (II) são verdadeiras.

(c) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(d) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

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A matriz 2 × 2 que tem autovetores ( 1 , π ) e ( 2 , 2 ) associados, respectivamente, aos autovalores 2 e 3 é:

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Considere a matriz

(a) Determine os autovalores de M.

(b) Determine uma base de autovetores de M.

(c) Diagonalize ortogonalmente M, ou seja, encontre matrizes P ortogonal e D diagonal tais que M = P D P T

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Considere o plano π em R 3 que passa pela origem de equação cartesiana

π : 2 x - y - 2 z = 0

e a transformação linear E : R 3 →   R 3 espelhamento (ou reflexão) em relação ao plano π . Denote por E ε a matriz de E na base canônica.

(d) Seja B uma matriz ortogonalmente diagonalizável. Mostre que B = B T .   Para isso lembre da forma L M N T = N T M T L T .

(e) Considere uma transformação linear M : R 3 → R 3 que tem uma base ortonormal de autovetores e determinante 0. Seja:

A matriz de M na base canônica. Determine os valores de a,b,c e d.

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Dada a matriz A = - 1 3 3 - 1 encontre uma matriz ortogonal P tal que P T A P é diagonal.

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Seja A uma matriz n × n . Considere as afirmações abaixo:

(I) Se as colunas de U formam uma base do R n composta por autovetores de A então existe D diagonal tal que A U = U D .

(II) As matrizes A e A T tem os mesmos autovalores.

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

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Seja T :   R 3 → R 3 uma transformação linear dada por:

T x , y , z = x - 3 z , y - 6 z , - 2 z

(a) Obtenha o polinômio característico e calcule os autovalores de T.

(b) Obtenha para cada um dos autovalores de T uma base para seu respectivo autoespaço (subespaço associado).

(c) T é diagonalizável? Justifique. Em caso afirmativo, determine uma base na qual a matriz de T é uma matriz diagonal e exiba tal matriz.

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Seja A uma reflexão do R 3 através do eixo X seguida da expansão de um fator 11 na direção do eixo Y . Os autovalores de A são:

( a ) 0 ,   1 e - 11

( b ) 1 ,   - 1   e 11

( c ) 1 ,   - 1 e - 11

( d ) 0 ,   1   e 11

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Sejam A , B e C matrizes quadradas tal que C = A B :

  1. Se A e B são diagonalizáveis, então C