1.

Diga se a matriz abaixo é diagonalizável:

2 1 0 1

Resolução
2.

Seja T : R 3 ⟶ R 3 dada por:

T x , y , z = ( x + 2 y ,   - 2 x + y ,   3 z )

a   Encontre os autovalores de T e os respectivos autoespaços.

b   A transformação T é diagonalizável? Se sim, dê sua forma diagonal.

Resolução
3.

A matriz abaixo está fatorada na forma M D M - 1 . Sem fazer contas, determine os autovalores da matriz e bases para cada um dos autoespaços.

3 1 - 2 - 2 0 4 0 0 2 = 1 2 - 1 1 0 2 1 1 0 2 0 0 0 2 0 0 0 1 - 2 - 1 4 2 1 - 3 1 1 - 2

Resolução
4.

Considere A x , y , z = x + y 2 , x + y 2 ,   z . Determine P e Q tais que:

a   P - 1 A P = 1 0 0 0 1 0 0 0 0

b   Q - 1 A Q = 1 0 0 0 0 0 0 0 1

Resolução
5.

Considere as seguintes afirmações:

I Se todos os autovalores de uma matriz são distintos, então a matriz é diagonalizável.

I I Seja A uma matriz 4 × 4 não diagonalizável, então A possui 4 autovetores linearmente independentes.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

a   A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

b   A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

c   A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

d   A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

Resolução
6.

Considere que a matriz abaixo é de uma transformação linear T : R 3 ⟶ R 3 e que α é a base canônica de R 3 :

T β α = 1 - 2 0 2 m 2 0 2 1

  1. Determine o polinômio característico de T .
  2. Para que valor(es) de m   a transformação T tem apenas um autovalor λ ? Determine o autoespaço V λ ;
  3. T   é diagonalizável para algum valor de m ?
Resolução
7.

É dado que o conjunto dos autovalores da matriz A = - 3 2 2 2 1 - 2 - 4 2 3 é - 1,1 . Então:

(a) A não é diagonalizável

(b) A é uma reflexão ortogonal

(c) A é uma reflexão não ortogonal

(d) A é uma projeção

Resolução
8.

Seja T : R 2 ⟶ R 2 uma transformação linear tal que T - 1,1 = 5 ( - 1,1 ) e T 1,2 = 1 5 1,2 . Seja A matriz de T   na base canônica. Calcule a soma dos elementos da primeira linha de A .

(a) 9 5

(b) - 5 3

(c) 0

(d)   1 5

Resolução
9.

Dizemos que duas matrizes A , B ∈ M 2 × 2 ( R ) comutam se satisfazem A B = B A . Considere o conjunto C ( A ) de todas as matrizes que comutam com A

C A = B ∈ M 2 × 2 R A B = B A }

Considere agora o caso particular das matrizes A = 1 - 1 - 4 1 e D = 3 0 0 - 1 .

( c ) Mostre que existe uma matriz P invertível tal que A = P D P - 1 .

(Observação: é possível mas não é necessário calcular a matriz P , nem P - 1 .)

( d ) Mostre que se uma matriz B comuta com D , então B é diagonal.

Resolução
10.

Seja T : R 3 → R 3 uma transformação linear dada por:

T x , y , z = ( x + 3 y - 4 z , y , 2 y - 3 z )

(a) Calcular os autovalores de T.

(b) Calcular os autovetores de T.

(c) T é diagonalizável? Justificar. Em caso afirmativo, encontre uma base na qual a matriz de T é uma matriz diagonal D. E exiba D.

Resolução
11.

Sejam A =   1 0 0 2 0 0 0 1 0 e A t sua transposta.

Considere   T : R ³ → R ³ a transformação linear cuja matriz, na base canônica R ³ , é a matriz

T = A A t .

e) T é injetora?

f) T é ortogonalmente diagonalizável? Se sua resposta foi afirmativa, diagonalize T ortogonalmente. Se sua resposta foi negativa, justifique.

g) Considere a transformação composta F = T O T . Existe uma base ortonormal de R ³ , feita de autovetores F?

Resolução
12.

A matriz 2 × 2 que tem autovetores 3,2 e 5,7 associados, respectivamente, aos autovalores π e 2 é:

a   3 5 2 7 π 0 0 2 3 5 2 7 - 1

b   3 5 2 7 - 1 π 0 0 2 3 5 2 7 - 1

c   3 5 2 7 2 0 0 π 3 5 2 7 - 1

d   3 2 5 7 - 1 π 0 0 2 3 2 5 7

Resolução
13.

Considere a função D : P 3 ⟶ P 3 definida por:

D a + b x + c x 2 + d x 3 = b + 2 c x + 3 d x 2

(Observe que D é a transformação que deriva o polinômio)

( d ) D é diagonalizável? Justifique:

Resolução
14.

Seja T : U ⟶ U uma transformação linear. Usaremos as notações T 2 = T ∘ T e T 3 = T ∘ T ∘ para denotar composições de T . Suponha que:

  1. T 3 v = 0 para todo v ∈ U ,
  2. Existe v 0 ∈ U tal que T 2 v 0 ≠ 0

Chamamos esse tipo de transformação de nilpotente de ordem 3 .

b   Mostre que 0 é o único autovalor de T

(Dica: comece com um autovetor de T .)

c   Mostre que T não é diagonalizável .

(Dica: como seria a matriz de T se fosse diagonalizável?)

Resolução
15.

Verdadeiro ou Falso? Forneça uma justificativa para sua resposta.

( c ) A matriz A = 1 1 0 1 é diagonalizável.

Resolução
16.

Seja T : R 3 ⟶ R 3 a reflexão (espelhamento) em relação ao plano π e

T γ = - 1 0 - 2 2 1 2 0 0 1

A matriz de T na base γ = { v 1 ,   v 2 , v 3 } de R 3 .

( c ) Sabendo que δ = { u 1 , u 2 , u 3 } é uma base de R 3 cujos elementos são autovetores de T , sendo u 1 e u 2 associados ao mesmo autovalor, encontre T δ .

( d ) Dê um exemplo de um subespaço vetorial H de R 3 tal que as duas seguintes condições sejam satisfeitas:

  • H não é autoespaço de T , mas é invariante por T
  • dim ⁡ H = 2
Resolução
17.

Seja p A o polinômio característico da matriz A .

Assinale a alternativa FALSA:

( a ) As raízes de p A são iguais às raízes de p A T

( b ) Se todas as raízes de p A são iguais então A é diagonalizável

( c ) Se todas as raízes de p A são complexas então A não tem autovetores

( d ) Se todas as raízes de p A são iguais então A tem autovetor

Resolução
18.

As matrizes dos enunciados abaixo têm todos os autovalores reais.

  1. Seja A ∈ M 7 × 7 uma matriz não diagonalizável. Suponha que dois dos autovalores de A tenham autoespaços de dimensão 3 e 2 respectivamente. Então A tem exatamente 2 autovalores distintos.
  2. Se A ∈ M 5 × 5 possui exatamente 4 autovalores distintos, então A não é diagonalizável.

a   Ambas são verdadeiras.

b   A afirmação I I é falsa e a I é verdadeira.

c   Ambas são falsas.

d   A afirmação I é falsa e a I I é verdadeira.

Resolução
19.

Considere a matriz

A = 1 2 - 2 0 - 1 1 - 4 0 0

Afirmamos que existem uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que

P - 1 A P = D

Qual dos itens abaixo nos dá P e D corretas?

( a ) P = 0 - 3 - 3 1 1 2 1 4 - 4 e D = - 3 0 0 0 3 0 0 0 0

( b )