Enunciado

Numa indústria química há uma caldeira cuja margem de segurança é tal que a pressão P é medida em atmosferas, e a temperatura T , medida em graus Celsius, devem ser reguladas de maneira que 10 P + T ≤ 400 . Quer-se usar a caldeira para que seja processada uma determinada reação. Para que isto ocorra da forma desejada, a temperatura deve estar entre 80 ° C e 300 ° C , e a pressão entre 1 e 20 atmosferas. A que temperatura e pressão deve trabalhar a caldeira para que a reação se processe no menor tempo possível, se sabemos que a velocidade da reação é dada por v = 2 T + 30 P + 20 ?

Passo 1

O que a gente tem que fazer aqui é esboçar a região do plano que corresponde ao nosso problema, com todas as condições que ele deu. Vamos reunir todas?

10 P + T ≤ 400 80 ≤ T ≤ 300 1 ≤ P ≤ 20

E aí o nosso trabalho é desenhar essa região!

Passo 2

Esboçando:

Aqui, considerei a pressão no eixo horizontal e a temperatura no eixo vertical. O nosso valor máximo vai estar dentro da região compreendida por todas as cores, ou seja, está naquele trapézio bem no meio da figura, que mistura as cores vermelha, azul e verde, sacou?

E agora, pra encontrar o valor máximo, a gente quer um ponto nesse espaço que esteja num vértice. Repara na fórmula da velocidade:

v = 2 T + 30 P + 20

A contribuição de uma pressão alta é o que vai dar o máximo! Por isso, o nosso ponto que vai fornecer a máxima velocidade é o do vértice que está na ordenada de T = 200 ° C ! Nesse ponto, P = 20 atmosferas. Fechou?

Resposta

P = 20 a t m ,   T = 200 ° C

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