Enunciado

Em cada caso, encontre (T_2 @ T_1) (x , y) .

  1. T_1 (x , y) = (- 2 y , 3 x , x - 2 y) , T_2 (x , y , z) = (y , z , x) , T_3 (x , y , z) = ( x + z , y - z )
  2. T_1 (x , y) = (x + y , y , - x) , T_2 (x , y , z) = (0 , x + y + z , 3 y) , T_3 ( 3 x + 2 y , 4 z - x - 3 y )

Passo 1

Show de bola galera, a gente sabe que de acordo com a Definição 1,”Se T_1 : U -> V e T_2 : V -> W forem transformações lineares, então a composição de T_2 com T_1 , denotada por T_2 @ T_1 é a aplicação definida pela fórmula

(T_2 @ T_1) (u) = T_2 ( T_1 (u) )

Em que u é um vetor em U .

Passo 2

Então na letra (a), temos T_1 (x , y) = (- 2 y , 3 x , x - 2 y) , T_2 (x , y , z) = (y , z , x) , T_3 (x , y , z) = ( x + z , y - z ) , logo

(T_2 @ T_1) (x , y) = T_2 (T_1 (x , y)) = T_2 ( - 2 y , 3 x , x - 2 y )

T_2 (x , y , z) = (y , z , x) => T_2 (- 2 y , 3 x , x - 2 y) = ( 3 x , x - 2 y , - 2 y )

Portanto

(T_2 @ T_1) (x , y) = ( 3 x , x - 2 y , - 2 y )

Passo 3

Na letra (b), temos T_1 (x , y) = (x + y , y , - x) , T_2 (x , y , z) = (0 , x + y + z , 3 y) , T_3 ( 3 x + 2 y , 4 z - x - 3 y ) , logo

(T_2 @ T_1) (x , y) = T_2 (T_1 (x , y)) = T_2 ( x + y , y , - x )

T_2 (x , y , z) = (0 , x + y + z , 3 y) => T_2 (x + y , y , - x) = ( 0 , x + y + y - x , 3 y )

Portanto

(T_2 @ T_1) (x , y) = ( 0 , 2 y , 3 y )

Resposta

  1. (T_2 @ T_1) (x , y) = ( 3 x , x - 2 y , - 2 y )
  2. (T_2 @ T_1) (x , y) = ( 0 , 2 y , 3 y )
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam T 1 : M 22 → R e T 2 : M 22 → M 22 as transformações lineares dadas por T 1 A = t r ( A ) e T 2 A = A T .Encontre T 1 ∘ T 2 A com A = a b c d .Você consegue encontrar T 2 ∘ T 1 A ? Explique.
Seja T 1 : V → V a dilatação T 1 v = 4 v . Encontre um operador linear T 2 : V → V tal que T 1 ∘ T 2 = I e T 2 ∘ T 1 = I .
Suponha que as transformações lineares T 1 : P 2 → P 2 e T 2 : P 2 → P 3 sejam dadas pelas fórmulas T 1 p x = p ( x + 1 ) e T 2 p x = x p x . Encontre ( T 2 ∘ T 1 ) ( a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ) .
Em cada caso, encontre (T_2 @ T_1) (x , y) . T_1 (x , y) = (2 x , 3 y) , T_2 (x , y) = (x - y , x + y) T_1 (x , y) = (x - 3 y , 0) , T_2 (x , y) = ( 4 x - 5 y , 3 x - 6 y ) T_1 (x , y) = (2 x , - 3 y