Enunciado

Seja T 1 : V → V a dilatação T 1 v = 4 v . Encontre um operador linear T 2 : V → V tal que T 1 ∘ T 2 = I e T 2 ∘ T 1 = I .

Passo 1

Show de bola galera, a gente sabe que de acordo com a Definição 1,”Se T 1 : U → V e T 2 : V → W forem transformações lineares, então a composição de T 2 com T 1 , denotada por T 2 ∘ T 1 é a aplicação definida pela fórmula

T 2 ∘ T 1 u = T 2 ( T 1 u )

Em que u é um vetor em U .

Passo 2

Então queremos encontrar um operador T 2 : V → V , que quando composto com T 1 v = 4 v faça com que ( T 1 ∘ T 2 ) = ( T 2 ∘ T 1 ) = I , ou seja, queremos que T 1 ∘ T 2 v = T 2 ∘ T 1 v = v . Como estamos dilatando o vetor v por um fator 4 , então o operador que inverte essa transformação é a compressão do vetor pelo mesmo fato 4, T 2 v = 1 4 v . Dessa forma

T 1 ∘ T 2 v = T 1 T 2 v = T 1 1 4 v = 4 4 v = v

T 2 ∘ T 1 v = T 2 T 1 v = T 2 4 v = 4 4 v = v

Resposta

T 2 v = 1 4 v

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Mostre que se P : V → V é um operador linear tal que P 2 = P (operador idempotente), então P e uma projeção.
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Um operador T : V → V é chamado nilpotente se T n = 0 , a transformação linear nula, para algum n ∈ N . Seja T um operador nilpotente. Mostre que existe um vetor V ≠ 0 tal que T V = 0 - .
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