Enunciado

Sejam T 1 : M 22 → R e T 2 : M 22 → M 22 as transformações lineares dadas por T 1 A = t r ( A ) e T 2 A = A T .

  1. Encontre T 1 ∘ T 2 A com A = a b c d .
  2. Você consegue encontrar T 2 ∘ T 1 A ? Explique.

Passo 1

Show de bola galera, a gente sabe que de acordo com a Definição 1,”Se T 1 : U → V e T 2 : V → W forem transformações lineares, então a composição de T 2 com T 1 , denotada por T 2 ∘ T 1 é a aplicação definida pela fórmula

T 2 ∘ T 1 u = T 2 ( T 1 u )

Em que u é um vetor em U .

Passo 2

Então na letra (a), temos que encontrar T 1 ∘ T 2 A com A = a b c d , então vamos encontrar T 2 e aplicar em T 1

T 1 ∘ T 2 A = T 1 T 2 A = T 1 A T = t r ( A T )

T 2 A = A T ⇒ T 2 a b c d = a c b d

Logo

T 1 A T = t r A T = t r a c b d = a + d

Portanto

T 2 ∘ T 1 A = a + d

Passo 3

Agora queremos encontrar T 2 ∘ T 1 A , logo precisamos encontrar T 1 e aplicar em T 2 , MAASSS ai que tá o problema, porque quando aplicamos a transformação T 1 ( A ) ela nos retorna um escalar, já que T 1 : M 22 → R , ou seja

T 1 A = t r a b c d = a + d

Só que a entrada de T 2 também é uma matriz, já que T 2 : M 22 → M 22 , mas como T 1 nos retornou um escalar e R ≠ M 22 , a composição ( T 2 ∘ T 1 ) ( A ) não existe.

Resposta

  1. T 2 ∘ T 1 A = a + d
  2. ( T 2 ∘ T 1 ) ( A ) não existe, pois T 1 ( A ) não é uma matriz 2 × 2 .
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