Enunciado

Em cada caso, encontre uma mudança de variável ortogonal que elimine o termo misto da forma quadrática e expresse a forma quadrática em termos das variáveis novas.

a - 3 x 1 2 + 5 x 2 2 + 5 x 1 x 2

b - 5 x 1 2 + x 2 2 - x 3 2 + 6 x 1 x 3 + 4 x 1 x 2

Passo 1

Para eliminarmos os termos mistos da forma quadrática o que fazemos é a seguinte mudança de escrita da nossa forma quadrática a associada a A

Q a x = x T A x →   Q a y = y T ⋅ P T A P y

Onde x = P y e P é a matriz que diagonaliza a nossa matriz A , ou seja, o produto P T A P é nada mais nada menos que a matriz diagonal associada a A . Devemos nos lembrar que essa matriz associada é uma matriz cujos elementos que em tese não serão nulos são os da diagonal principal e seus valores serão os dos autovalores associados à forma quadrática. Sendo assim, nosso problema irá se resumir em encontrar os auto valores associados a cada uma das formas quadráticas descritas no enunciado.

Passo 2

Para o nosso primeiro caso, vamos ter a seguinte forma quadrática

Q a x = - 3 x 1 2 + 5 x 2 2 + 5 x 1 x 2

Que em notação matricial será

Q a x = x 1 x 2 ⋅ - 3 1 1 5 ⋅ x 1 x 2

Assim, a partir do teorema 5.1 . 1 podemos encontrar a equação característica dessa matriz A (que nos fornece os autovalores) fazendo

det ⁡ λ 0 0 λ - - 3 1 1 5 = det ⁡ λ + 3 - 1 - 1 λ - 5

Esse determinante nos fornece a seguinte equação característica

det ⁡ A = λ 2 - 4 λ + 3

Cujas raízes são λ 1 = 1 + 17   e   λ 2 = 1 - 17 . Dessa forma, podemos eliminar os termos mistos fazendo

Q = y 1 y 2 ⋅ 1 + 17 0 0 1 - 17 ⋅ y 1 y 2

→ Q = 1 + 17 ⋅ y 1 2 + 1 - 17 ⋅ y 2 2

Passo 3

Procedendo da mesma forma para a segunda forma quadrática, vamos ter

Q a x = - 5 x 1 2 + x 2 2 - x 3 2 + 6 x 1 x 3 + 4 x 1 x 2

→ Q a x = x 1 x 2 x 3 ⋅ - 5 2 3 2 1 0 3 0 - 1 ⋅ x 1 x 2 x 3

Sem nos esquecer que a equação característica da nossa matriz A de acordo com o teorema 5 é dada na seguinte forma

det ⁡ λ I - A = 0

Colocando sob a forma matricial podemos reescrever a equação acima como sendo

det ⁡ λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ - - 5 2 3 2 1 0 3 0 - 1 = det ⁡ λ + 3 - 2 - 3 - 2 λ - 1 0 - 3 0 λ + 1

Esse determinante nos fornece a seguinte equação característica

det ⁡ A = λ 3 + 5 λ 2 - 14 λ

Cujas raízes são λ 1 = 0 ,   λ 2 = 2 , λ 3 = - 7 . Dessa forma, podemos eliminar os termos mistos fazendo

Q = y T P T A P y → Q = y 1 y 2 y 3 ⋅ 0 0 0 0 2 0 0 0 - 7 ⋅ y 1 y 2 y 3

Q = 0 ⋅ y 1 2 + 2 y 2 2 - 7 y 3 2

Pronto, está resolvido nosso problema de uma forma simples.

Resposta

a Q = 1 + 17 ⋅ y 1 2 + 1 - 17 ⋅ y 2 2  

b Q = 0 ⋅ y 1 2 + 2 y 2 2 - 7 y 3 2

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