Enunciado

Classifique a forma quadrática como positiva, negativa, indefinida, não negativa ou não positiva.

x 1 x 2

Passo 1

Vamos lá pessoal, essa questão não é difícil! Vamos resolver juntos! Temos a seguinte equação:

x 1 x 2

Reescrevendo ela em forma matricial, temos:

x T A x = x 1 x 2 . 0 1 2 1 2 0 . x 1 x 2

Passo 2

Vish! Essa aqui não dá pra tirar os autovalores no olho. Vamos ter que calcular o polinômio característico da matriz A definido como:

det ⁡ λ I - A = 0

det ⁡ λ 0 0 λ - 0 1 2 1 2 0 = 0

d e t λ - 1 2 - 1 2 λ = 0

λ 2 - 1 4 = 0

Passo 3

Agora, precisamos calcular os autovalores, ou seja, as raízes do polinômio característico:

λ 2 - 1 4 = 0

Ficou fácil né galera? Esse polinômio é nulo para os valores 1 4 e - 1 4 ! Portanto, os autovalores são:

λ 1 = 1 4                       λ 2 = - 1 4

Passo 4

Como podemos observar, os autovalores dessa matriz são λ 1 = 1 4 e λ 2 = - 1 4 . O primeiro é positivo e o segundo é negativo, portanto, como a matriz apresenta tanto um autovalor positivo quanto um autovalor negativo, a matriz é indefinida.

Resposta

Portanto, lá vai o gabarito! A matriz A é indefinida.

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